Изоморфизм

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Изоморфизм (математика)»)
Перейти к: навигация, поиск

Изоморфи́зм (от др.-греч. ἴσος — «равный, одинаковый, подобный» и μορφή — «форма») — это очень общее понятие, которое употребляется в различных разделах математики. В общих чертах его можно описать так: пусть даны две алгебраические структуры (группы, кольца, линейные пространства и т. п.). Обратимое отображение (биекция) между ними называется изоморфизмом, если оно сохраняет эту структуру. Если между такими структурами существует изоморфизм, то они называются изоморфными. Изоморфизм всегда задаёт отношение эквивалентности на классе таких структур.

Объекты, между которыми существует изоморфизм, являются в определённом смысле «одинаково устроенными» и называются изоморфными. Классическим примером изоморфных систем могут служить множество \mathbb R всех вещественных чисел с определённой на нём операцией сложения и множество \mathbb R_+ положительных вещественных чисел с заданной на нём операцией умножения. Отображение x\mapsto \exp(x) в этом случае является изоморфизмом.

Общая алгебра[править | править вики-текст]

В общей алгебре изоморфизмом называется обратимое отображение, которое является гомоморфизмом. Ниже приводятся несколько примеров.

Группы[править | править вики-текст]

Пусть G и H — две группы. Биекция f:G\to H называется изоморфизмом, если для любых a,\;b\in G

f(a) f(b)=f(ab).

Если группа является топологической, добавляется условие гомеоморфности соответствующих топологических пространств.[1]

Поля[править | править вики-текст]

Пусть F_1 и F_2 — поля. Биекция f:F_1\to F_2 называется изоморфизмом, если для любых a,b\in F_1 выполняется

  1. f(a) + f(b)=f(a + b),
  2. f(a) \cdot f(b)= f(a\cdot b).

Теория множеств[править | править вики-текст]

В теории множеств любая биекция является изоморфизмом.

Изоморфизм в теории категорий[править | править вики-текст]

В теории категорий изоморфизм есть обратимый морфизм, то есть морфизм \varphi, для которого существует такой морфизм \varphi^{-1}, что композиции \varphi^{-1}\circ\varphi и \varphi\circ\varphi^{-1} — тождественные морфизмы.

Теория операторов/Функциональный анализ[править | править вики-текст]

Ограниченный линейный оператор T между нормированными пространствами называется изоморфизмом, если существует положительное вещественное число c такое, что \lVert Tx\rVert\geqslant c\lVert x\rVert для всех векторов x[источник?]. Любой изоморфизм является взаимно-однозначным. Легко видеть, что T является изоморфизмом тогда и только тогда, когда T обратим на своем образе, и обратный оператор ограничен. Говорят, что два нормированных пространства являются изоморфными, если найдется сюръективный изоморфизм из одного из них на другое.

Теория графов[править | править вики-текст]

Граф G называется изоморфным графу H, если существует биекция f из множества вершин графа G в множество вершин графа H, обладающая следующим свойством: если в графе G есть ребро из вершины A в вершину B, то в графе H должно быть ребро из вершины f(A) в вершину f(B) и наоборот — если в графе H есть ребро из вершины A в вершину B, то в графе G должно быть ребро из вершины f^{-1}(A) в вершину f^{-1}(B). В случае ориентированного графа эта биекция также должна сохранять ориентацию ребра. В случае взвешенного графа биекция также должна сохранять вес ребра.

В теории вычислительной сложности до сих пор является открытым вопрос о сложности задачи изоморфности графов. На данный момент не доказана ни её принадлежность классу P, ни её NP-полнота.

Связанные определения[править | править вики-текст]

Изоморфизм алгебраической системы на себя называется автоморфизмом.

История[править | править вики-текст]

Понятие изоморфизма возникло в математике применительно к группам и было естественным образом распространено на более широкий класс математических структур.

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

  • Некоторая общая теория, уточняющая понятия изоморфизма (и других близких понятий) была предложена группой Бурбаки в их книге «Теория множеств» (Глава 4. Структуры).

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Л. С. Понтрягин Непрерывные группы стр. 392

Литература[править | править вики-текст]