Дифференциальная алгебра

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Дифференциальными кольцами, полями и алгебрами называются кольца, поля и алгебры, снабжённые дифференцированием — унарной операцией, удовлетворяющей правилу произведения. Естественный пример дифференциального поля — поле рациональных функций одной комплексной переменной C(t), операции дифференцирования соответствует дифференцирование по t.

Определения[править | править исходный текст]

Дифференциальные кольца[править | править исходный текст]

Дифференциальное кольцо — это кольцо R, снабжённое одним или несколькими эндоморфизмами (дифференцированиями)

\partial\colon R \to R

удовлетворяющими правилу произведения

\partial (r_1 r_2)=(\partial r_1) r_2 + r_1 (\partial r_2)

для любых r_1, r_2 \in R. Подчеркнем, что в некоммутативном кольце правило d(xy) = x dy + y dx может не выполняться. В безындексной форме записи, если M\colon R \times R \to R — умножение в кольце, то правило произведения примет вид

\partial \circ M = 
M \circ (\partial \otimes \operatorname{id}) + 
M \circ (\operatorname{id} \otimes \partial).

где f\otimes g — отображение пары (x,y) в пару (f(x),g(y)).

Дифференциальные поля[править | править исходный текст]

Дифференциальное поле — это поле K, снабжённое дифференцированием. Дифференцирование должно подчиняться правилу Лейбница в форме

\partial(uv) = u \,\partial v + v\, \partial u

так как умножение в поле коммутативно. Дифференцирование также должно быть дистрибутивно относительно сложения:

\partial (u + v) = \partial u + \partial v

Полем констант дифференциального поля K называется  k = \{u \in K | \partial(u) = 0\}.

Дифференциальная алгебра[править | править исходный текст]

Дифференциальной алгеброй над полем K называется K-алгебра A, в которой дифференцирования коммутируют с полем. То есть для любых k \in K и x \in A:

\ \partial (kx) = k \partial x

В безындексной форме записи, если \eta \colon K\to A — морфизм колец, определяющий умножение на скаляры в алгебре, то

\partial \circ M \circ (\eta \times \operatorname{Id}) = 
M \circ (\eta \times \partial)

Как и в остальных случаях, дифференцирование должно удовлетворять правилу Лейбница относительно умножения в алгебре и быть линейным относительно сложения. То есть для любых a,b \in K и x,y \in A:

\partial (xy) = (\partial x) y + x(\partial y)

и

\partial (ax+by) = a\,\partial x + b\,\partial y

Дифференцирование в алгебре Ли[править | править исходный текст]

Дифференцирование алгебры Ли L — это линейное отображение \delta \colon L \to L, удовлетворяющее правилу Лейбница:

\ \delta([a,b]) = [a,\delta(b)] + [\delta(a),b]

Для любого a \in L,~\operatorname{ad}(a) — дифференцирование на L, что следует из тождества Якоби. Любое такое дифференцирование называется внутренним.

Примеры[править | править исходный текст]

Если A — алгебра с единицей, то \partial(1)=0, так как \partial(1) = \partial(1\times 1) = \partial(1) + \partial(1). Например, в дифференциальных полях характеристики 0 рациональные элементы образуют подполе в поле констант.

Любое поле можно рассматривать как поле констант.

В поле \Bbb{Q}(t) существует естественная структура дифференциального поля, определяемая равенством \partial(t)=1: из аксиом поля и дифференцирования следует, что это будет дифференцирование по t. Например, из коммутативности умножения и правила Лейбница следует, что

\partial(u^2) = u \partial(u) + \partial(u) u = 2 u \partial(u)

В дифференциальном поле \Bbb{Q}(t) нет решения дифференциального уравнения \partial(u) = u , но можно расширить его до поля, содержащего функцию e^t, имеющего решение этого уравнения.

Дифференциальное поле, имеющее решение для любой системы дифференциальных уравнений, называется дифференциально замкнутым полем. Такие поля существуют, хотя они и не возникают естественным образом в алгебре или геометрии. Любое дифференциальное поле (ограниченной мощности) вкладывается в большее дифференциально замкнутое поле. Дифференциальные поля изучаются в дифференциальной теории Галуа.

Естественные примеры дифференцирований — частные производные, производные Ли, производная Пиншерле и коммутатор относительно заданного элемента алгебры. Все эти примеры тесно связаны общей идеей дифференцирования.

Кольцо псевдодифференциальных операторов[править | править исходный текст]

Дифференциальные кольца и дифференциальные алгебры часто изучаются с помощью кольца псевдодифференциальных операторов над ними:

R((\xi^{-1})) = \left\{ \sum_{n<\infty} r_n \xi^n | r_n \in R \right\}.

Умножение в этом кольце определяется как

(r\xi^m)(s\xi^n) = 
\sum_{k=0}^m r (\partial^k s) {m \choose k} \xi^{m+n-k}.

Здесь {m \choose k} — биномиальный коэффициент. Отметим тождество

\xi^{-1} r = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n (\partial^n r) \xi^{-1-n}

следующее из

{-1 \choose n} = (-1)^n

и

r \xi^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \xi^{-1-n} (\partial^n r).

Градуированное дифференцирование[править | править исходный текст]

Пусть A — градуированная алгебра, D — однородное линейное отображение, d = \left| D \right|. D называется однородной производной, если D(ab)=D(a)b+\epsilon^{|a||D|}aD(b), \epsilon = \pm1 при действии на однородные элементы A. Градуированная производная — это сумма однородных производных с одинаковым \epsilon.

Если \epsilon = 1, определение совпадает с обычным дифференцированием.

Если \epsilon = -1, то D(ab)=D(a)b+(-1)^{|a|}aD(b), для нечётных \left| D \right|. Такие эндоморфизмы называются антипроизводными.

Примеры антипроизводных — внешняя и внутренняя производная дифференциальных форм.

Градуированные производные супералгебр (то есть  \mathbb{Z}_2 -градуированных алгебр) часто называются суперпроизводными.

См. также[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]

  • Buium Differential Algebra and Diophantine Geometry, — Hermann (1994).
  • И. Капланский Дифференциальная алгебра, — Hermann (1957).
  • Е. Колчин Дифференциальная алгебра и алгебраические группы, — 1973.
  • Д. Маркер Теория моделей для дифференциальных полей, Теория моделей полей, Lecture notes in Logic 5, D. Marker, M. Messmer and A. Pillay, Springer Verlang (1996).
  • А. Магид Лекции по дифференциальной теории Галуа, — Американское мат. общество, 1994.