Сумма ряда

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Сумма числового ряда a_1+a_2+\ldots +a_n+\ldots\ определяется как предел, к которому стремятся суммы первых n слагаемых ряда, когда n неограниченно растёт. Если такой предел существует и конечен, то говорят, что ряд сходится, в противном случае — что он расходится[1]. Элементы ряда a_n представляют собой комплексные числа (в частности, вещественные).

Определение[править | править вики-текст]

Пусть \sum_{i=1}^\infty a_i=a_1+a_2+\ldots — числовой ряд. Число ~S_n=a_1+a_2+\ldots+a_n называется n-ой частичной суммой ряда \sum_{i=1}^\infty a_i.

Сумма (числового) ряда — это предел частичных сумм S_n, если он существует и конечен. Таким образом, если существует число  S=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}a_i, то в этом случае пишут \sum_{i=1}^{\infty}a_i=S. Такой ряд называется сходящимся. Если предел частичных сумм не существует или бесконечен, то ряд называется расходящимся.

Сходимость числовых рядов[править | править вики-текст]

Свойство 1. Если ряд

\sum_{n=1}^{\infty} {u}_{n} = {u}_{1} + {u}_{2} + {u}_{3} + {u}_{4} + ...   (1.1)

сходится и его сумма равна S, то ряд

\sum_{n=1}^{\infty} c{u}_{n} = c{u}_{1} + c{u}_{2} + c{u}_{3} + c{u}_{4} + ...  (1.2)

где c — произвольное число, также сходится и его сумма равна cS. Если же ряд (1.1) расходится и с ≠ 0, то ряд расходится.

Свойство 2. Если сходится ряд (1.1) и сходится ряд

\sum_{n=1}^{\infty } {v}_{n},

а их суммы равны {S}_{1} и {S}_{2} соответственно, то сходятся и ряды

\sum_{n=1}^{\infty } ({u}_{n} \pm  {v}_{n}),

причём сумма каждого равна соответственно {S}_{1} \pm {S}_{2}.

Необходимый признак сходимости ряда[править | править вики-текст]

Ряд {u}_{1} + {u}_{2} + {u}_{3} + ... + {u}_{n} + ...   может сходиться лишь в том случае, когда член {u}_{n} (общий член ряда) стремится к нулю:

\lim_{n\rightarrow \infty} {u}_{n} = 0.

Это необходимый признак сходимости ряда (но не достаточный!). Если же общий член ряда не стремится к нулю — это достаточный признак расходимости.

Примеры[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]

Обобщения числовых рядов[править | править вики-текст]

Признаки сходимости[править | править вики-текст]


Литература[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Указ. соч., глава 11.