Теорема Паскаля

Шестиугольник вписан в эллипс, точки пересечения трёх пар противоположных сторон лежат на одной (красной) прямой

Теоре́ма Паска́ля — теорема проективной геометрии, которая гласит, что

Если шестиугольник вписан в окружность либо любое другое коническое сечение (эллипс, параболу, гиперболу, даже пару прямых), то точки пересечения трёх пар противоположных сторон лежат на одной прямой.

Теорема Паскаля двойственна к теореме Брианшона.

История [править]

Впервые сформулирована и доказана Блезом Паскалем в возрасте 16 лет как обобщение теоремы Паппа. Эту теорему Паскаль взял за основание своего трактата о конических сечениях. Сам трактат пропал и известно лишь его краткое содержание по письму Лейбница, который во время своего пребывания в Париже имел его в своих руках, и краткое изложение основных теорем этого трактата, составленное самим Паскалем (Опыт о конических сечениях).

О доказательствах [править]

Одно из доказательств использует счёт в двойных отношениях.
Возможное доказательство основано на последовательном применении теоремы Менелая.
Проективным преобразованием можно перевести описанную конику в окружность, при этом условие теоремы сохранится. Для окружности теорема может быть доказана из существования изогонального сопряжения.
- В случае выпуклого многоугольника, вписанного в окружность, можно осуществить проективное преобразование, оставляющее окружность на месте, а прямую, проходящую через точки пересечения двух пар противоположных сторон увести на бесконечность. В этом случае утверждение теоремы станет очевидным.

Применение [править]

Позволяет строить коническое сечение по пяти точкам как геометрическое место точек соответственных шестой точке шестиугольника в конфигурации.

Вариации и обобщения [править]

Теорема верна и в том случае, когда две или даже три соседних вершины совпадают (но не более чем по две в одной точке).

В этом случае в качестве прямой, проходящей через две совпадающие вершины, принимается касательная к линии в этой точке.

В частности:

Касательная к линии 2-го порядка, проведенная в одной из вершин вписанного пятиугольника, пересекается со стороной, противоположной этой вершине, в точке, которая лежит на прямой, проходящей через точки пересечения остальных пар несмежных сторон этого пятиугольника.

Если ABCD ― четырехугольник, вписанный в линию 2-го порядка, то точки пересечения касательных в вершинах С и D соответственно со сторонами AD и ВС и точка пересечения прямых А В и CD лежат на одной прямой.

Точки пересечения касательных в вершинах треугольника, вписанного в линию 2-го порядка, с противоположными сторонами лежат на одной прямой.

Эта прямая называется прямой Паскаля данного треугольника.

Шестиугольник ABCDEF (справа) вписан в окружность, точки пересечения трёх пар продолжений его противоположных сторон лежат (слева) на одной (синей) прямой MNP (прямая Паскаля)

Теорема верна даже для такого шестиугольника ABCDEF, вписанного в круг. Пары (каждая своего цвета - красного, желтого, синего) его противоположных продолженных сторон пересекаются на линии Паскаля (белая)

В 1847 появилось обобщение теоремы Паскаля, сделанное Мёбиусом, которое звучит так:

Если многоугольник с $4 n + 2$ сторонами вписан в коническое сечение и противоположные его стороны продолжены таким образом, чтобы пересечься в $2 n + 1$ точке, то если $2 n$ этих точек лежат на прямой, последняя точка будет лежать на той же прямой.

Теорема Киркмана:

Пусть точки $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $E$ и $F$ лежат на одном коническом сечении. Тогда прямые Паскаля шестиугольников $ABFDCE$ , $AEFBDC$ и $ABDFEC$ пересекаются в одной точке.