Тригамма-функция действительного аргумента x Тригамма-функция в математике является второй из полигамма-функций . Она обозначается
ψ
1
(
z
)
{\displaystyle \psi _{1}(z)}
ψ
1
(
z
)
=
d
2
d
z
2
ln
Γ
(
z
)
,
{\displaystyle \psi _{1}(z)={\frac {{\rm {d}}^{2}}{{\rm {d}}z^{2}}}\ln \Gamma (z)\;,}
где
Γ
(
z
)
{\displaystyle \Gamma (z)}
гамма-функция [1]
ψ
1
(
z
)
=
d
d
z
ψ
(
z
)
,
{\displaystyle \psi _{1}(z)={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\psi (z)\;,}
где
ψ
(
z
)
{\displaystyle \psi (z)}
дигамма-функция (первая из полигамма-функций )[2]
Тригамма-функцию можно также определить через сумму следующего ряда:
ψ
1
(
z
)
=
∑
n
=
0
∞
1
(
z
+
n
)
2
,
{\displaystyle \psi _{1}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+n)^{2}}},}
откуда видно, что она является специальным случаем дзета-функции Гурвица (англ. Hurwitz zeta-function )[2]
ψ
1
(
z
)
=
ζ
(
2
,
z
)
.
{\displaystyle \psi _{1}(z)=\zeta (2,z)\;.}
Эти формулы верны, когда
z
≠
0
,
−
1
,
−
2
,
−
3
,
…
{\displaystyle z\neq 0,\;-1,\;-2,\;-3,\ldots }
ψ
1
(
z
)
{\displaystyle \psi _{1}(z)}
квадратичные сингулярности , см. график функции).
Существуют также другие обозначения для
ψ
1
(
z
)
{\displaystyle \psi _{1}(z)}
ψ
′
(
z
)
,
ψ
(
1
)
(
z
)
.
{\displaystyle \psi '(z),\;\;\;\psi ^{(1)}(z)\;.}
Иногда термин «тригамма-функция» употребляется для функции
F
′
(
z
)
=
ψ
1
(
z
+
1
)
{\displaystyle {\displaystyle F'(z)=\psi _{1}(z+1)}}
[1]
Используя представление в виде ряда, а также формулу для суммы членов геометрической прогрессии , можно получить следующее двойное интегральное представление:
ψ
1
(
z
)
=
∫
0
1
∫
0
y
x
z
−
1
y
1
−
x
d
x
d
y
.
{\displaystyle \psi _{1}(z)=\int _{0}^{1}\int _{0}^{y}{\frac {x^{z-1}y}{1-x}}\,{\rm {d}}x\,{\rm {d}}y\;.}
С помощью интегрирования по частям получается следующее однократное представление:
ψ
1
(
z
)
=
−
∫
0
1
x
z
−
1
ln
x
1
−
x
d
x
.
{\displaystyle \psi _{1}(z)=-\int _{0}^{1}{\frac {x^{z-1}\ln {x}}{1-x}}\,{\rm {d}}x\;.}
Используется также другое представление, которое может быть получено из предыдущего заменой x = e—t :
ψ
1
(
z
)
=
∫
0
∞
e
−
z
t
1
−
e
−
t
d
t
.
{\displaystyle \psi _{1}(z)=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-zt}}{1-e^{-t}}}\,{\rm {d}}t\;.}
Тригамма-функция удовлетворяет рекуррентному соотношению [2]
ψ
1
(
z
+
1
)
=
ψ
1
(
z
)
−
1
z
2
,
{\displaystyle \psi _{1}(z+1)=\psi _{1}(z)-{\frac {1}{z^{2}}}\;,}
а также формуле дополнения[2]
ψ
1
(
1
−
z
)
+
ψ
1
(
z
)
=
π
2
sin
2
(
π
z
)
.
{\displaystyle \psi _{1}(1-z)+\psi _{1}(z)={\frac {\pi ^{2}}{\sin ^{2}(\pi z)}}\;.}
Для тригамма-функции кратного аргумента существует следующее свойство[2]
ψ
1
(
k
z
)
=
1
k
2
∑
n
=
0
k
−
1
ψ
1
(
z
+
n
k
)
.
{\displaystyle \psi _{1}(kz)={\frac {1}{k^{2}}}\sum _{n=0}^{k-1}\psi _{1}\left(z+{\frac {n}{k}}\right)\;.}
Приведём также асимптотическое разложение с использованием чисел Бернулли :
ψ
1
(
z
+
1
)
=
1
z
−
1
2
z
2
+
∑
k
=
1
∞
B
2
k
z
2
k
+
1
.
{\displaystyle \psi _{1}(z+1)={\frac {1}{z}}-{\frac {1}{2z^{2}}}+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{z^{2k+1}}}\;.}
Ниже приведены частные значения тригамма-функции[1]
ψ
1
(
1
4
)
=
π
2
+
8
G
,
{\displaystyle \psi _{1}\!\left({\tfrac {1}{4}}\right)=\pi ^{2}+8G\;,}
ψ
1
(
1
3
)
=
2
3
π
2
+
3
3
C
l
2
(
2
3
π
)
,
{\displaystyle \psi _{1}\!\left({\tfrac {1}{3}}\right)={\tfrac {2}{3}}\pi ^{2}+3{\sqrt {3}}\;\mathrm {Cl} _{2}\!\left({\tfrac {2}{3}}\pi \right)\;,}
ψ
1
(
1
2
)
=
1
2
π
2
,
{\displaystyle \psi _{1}\!\left({\tfrac {1}{2}}\right)={\tfrac {1}{2}}\pi ^{2}\;,}
ψ
1
(
2
3
)
=
2
3
π
2
−
3
3
C
l
2
(
2
3
π
)
,
{\displaystyle \psi _{1}\!\left({\tfrac {2}{3}}\right)={\tfrac {2}{3}}\pi ^{2}-3{\sqrt {3}}\;\mathrm {Cl} _{2}\!\left({\tfrac {2}{3}}\pi \right)\;,}
ψ
1
(
3
4
)
=
π
2
−
8
G
,
{\displaystyle \psi _{1}\!\left({\tfrac {3}{4}}\right)=\pi ^{2}-8G\;,}
ψ
1
(
1
)
=
1
6
π
2
,
{\displaystyle \psi _{1}(1)\;={\tfrac {1}{6}}\pi ^{2}\;,}
где G — постоянная Каталана , а
C
l
2
(
θ
)
{\displaystyle \mathrm {Cl} _{2}(\theta )}
функция Клаузена (англ.) ( рус. , связанная с мнимой частью дилогарифма через
C
l
2
(
θ
)
=
I
m
[
L
i
2
(
e
i
θ
)
]
.
{\displaystyle \mathrm {Cl} _{2}(\theta )=\mathrm {Im} \left[\mathrm {Li} _{2}\!\left(e^{\mathrm {i} \theta }\right)\right]\;.}
Используя формулу кратного аргумента и формулу дополнения, a также связь
ψ
1
(
1
8
)
{\displaystyle \psi _{1}\!\left({\tfrac {1}{8}}\right)}
[3] [4]
ψ
1
(
1
6
)
=
2
π
2
+
15
3
C
l
2
(
2
3
π
)
,
{\displaystyle \psi _{1}\!\left({\tfrac {1}{6}}\right)=2\pi ^{2}+15{\sqrt {3}}\;\mathrm {Cl} _{2}\!\left({\tfrac {2}{3}}\pi \right)\;,}
ψ
1
(
5
6
)
=
2
π
2
−
15
3
C
l
2
(
2
3
π
)
,
{\displaystyle \psi _{1}\!\left({\tfrac {5}{6}}\right)=2\pi ^{2}-15{\sqrt {3}}\;\mathrm {Cl} _{2}\!\left({\tfrac {2}{3}}\pi \right)\;,}
ψ
1
(
1
8
)
=
(
2
+
2
)
π
2
+
4
(
4
−
2
)
G
+
16
2
C
l
2
(
π
4
)
,
{\displaystyle \psi _{1}\!\left({\tfrac {1}{8}}\right)=(2+{\sqrt {2}})\pi ^{2}+4(4-{\sqrt {2}})G+16{\sqrt {2}}\;\mathrm {Cl} _{2}\!\left({\tfrac {\pi }{4}}\right)\;,}
ψ
1
(
3
8
)
=
(
2
−
2
)
π
2
−
4
(
4
+
2
)
G
+
16
2
C
l
2
(
π
4
)
,
{\displaystyle \psi _{1}\!\left({\tfrac {3}{8}}\right)=(2-{\sqrt {2}})\pi ^{2}-4(4+{\sqrt {2}})G+16{\sqrt {2}}\;\mathrm {Cl} _{2}\!\left({\tfrac {\pi }{4}}\right)\;,}
ψ
1
(
5
8
)
=
(
2
−
2
)
π
2
+
4
(
4
+
2
)
G
−
16
2
C
l
2
(
π
4
)
,
{\displaystyle \psi _{1}\!\left({\tfrac {5}{8}}\right)=(2-{\sqrt {2}})\pi ^{2}+4(4+{\sqrt {2}})G-16{\sqrt {2}}\;\mathrm {Cl} _{2}\!\left({\tfrac {\pi }{4}}\right)\;,}
ψ
1
(
7
8
)
=
(
2
+
2
)
π
2
−
4
(
4
−
2
)
G
−
16
2
C
l
2
(
π
4
)
.
{\displaystyle \psi _{1}\!\left({\tfrac {7}{8}}\right)=(2+{\sqrt {2}})\pi ^{2}-4(4-{\sqrt {2}})G-16{\sqrt {2}}\;\mathrm {Cl} _{2}\!\left({\tfrac {\pi }{4}}\right)\;.}
Для значений за пределами интервала
0
<
z
≤
1
{\displaystyle 0<z\leq 1}
[1]
ψ
1
(
5
4
)
=
π
2
+
8
G
−
16
,
{\displaystyle \psi _{1}\!\left({\tfrac {5}{4}}\right)=\pi ^{2}+8G-16\;,}
ψ
1
(
3
2
)
=
1
2
π
2
−
4
,
{\displaystyle \psi _{1}\!\left({\tfrac {3}{2}}\right)={\tfrac {1}{2}}\pi ^{2}-4\;,}
ψ
1
(
2
)
=
1
6
π
2
−
1
.
{\displaystyle \psi _{1}(2)\;={\tfrac {1}{6}}\pi ^{2}-1\;.}
↑ 1 2 3 4 Eric W. Weisstein. Trigamma Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .↑ 1 2 3 4 5 Eric W. Weisstein. Polygamma Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .↑ C.C. Grosjean, Formulae concerning the computation of the Clausen integral
C
l
2
(
θ
)
{\displaystyle \mathrm {Cl} _{2}(\theta )}
, J. Comp. Appl. Math. 11 (1984) 331—342
↑ P.J. de Doelder, On the Clausen integral
C
l
2
(
θ
)
{\displaystyle \mathrm {Cl} _{2}(\theta )}
, J. Comp. Appl. Math. 11 (1984) 325—330
![{\displaystyle \mathrm {Cl} _{2}(\theta )=\mathrm {Im} \left[\mathrm {Li} _{2}\!\left(e^{\mathrm {i} \theta }\right)\right]\;.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55ec365282345ce73825a08667733e23ab599e07)
