Тригамма-функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Тригамма-функция действительного аргумента x

Тригамма-функция в математике является второй из полигамма-функций. Она обозначается \psi_{1}(z) и определяется как

\psi_1(z) = \frac{{\rm d}^2}{{\rm d}z^2} \ln\Gamma(z) \; ,

где \Gamma(z)гамма-функция. Из этого определения следует, что

\psi_1(z) = \frac{{\rm d}}{{\rm d}z} \psi(z) \; ,

где \psi(z)дигамма-функция (первая из полигамма-функций).

Тригамма-функцию можно также определить через сумму следующего ряда:

 \psi_1(z) = \sum_{n = 0}^{\infty}\frac{1}{(z + n)^2},

откуда видно, что она является специальным случаем дзета-функции Гурвица (англ. Hurwitz zeta-function),

 \psi_1(z) = \zeta(2,z)\; .\frac{}{}

Эти формулы верны, когда z\neq 0, \; -1, \; -2, \; -3, \ldots (в указанных точках функция \psi_{1}(z) имеет квадратичные сингулярности, см. график функции).

Существуют также другие обозначения для \psi_{1}(z), используемые в литературе:

 \psi'(z), \;\;\; \psi^{(1)}(z)\; .

Иногда термин «тригамма-функция» употребляется для функции {\displaystyle F'(z)=\psi_{1}(z+1)}.

Интегральные представления[править | править вики-текст]

Используя представление в виде ряда, а также формулу для суммы членов геометрической прогрессии, можно получить следующее двойное интегральное представление:

 \psi_1(z) = \int_0^1\int_0^y\frac{x^{z-1}y}{1 - x}\,{\rm d}x\, {\rm d}y

С помощью интегрирования по частям получается следующее однократное представление:

 \psi_1(z) = -\int_0^1\frac{x^{z-1}\ln{x}}{1-x}\,{\rm d}x

Используется также другое представление, которое может быть получено из предыдущего заменой x = e—t:

 \psi_1(z) = \int_0^\infty\frac{e^{-zt}}{1-e^{-t}}\,{\rm d}t

Другие формулы[править | править вики-текст]

Тригамма-функция удовлетворяет рекуррентному соотношению

 \psi_1(z + 1) = \psi_1(z) - \frac{1}{z^2} \; ,

а также формуле дополнения

 \psi_1(1 - z) + \psi_1(z) = \frac{\pi^2}{\sin^2(\pi z)} \; .

Для тригамма-функции кратного аргумента существует следующее свойство:

\psi_1(kz) = \frac{1}{k^2} \sum_{n=0}^{k-1}
\psi_1\left(z+\frac{n}{k}\right)\; .

Приведём также асимптотическое разложение с использованием чисел Бернулли

 \psi_1(z+1) = \frac{1}{z} - \frac{1}{2z^2} + \sum_{k=1}^{\infty}\frac{B_{2k}}{z^{2k+1}} .

Частные значения[править | править вики-текст]

Ниже приведены частные значения тригамма-функции:

 \psi_{1}\!\left(\tfrac14\right) = \pi^2 + 8G
 \psi_{1}\!\left(\tfrac13\right) = \tfrac23 \pi^2 + 3\sqrt{3}\;\mathrm{Cl}_2\!\left(\tfrac23\pi\right)
 \psi_1\!\left(\tfrac12\right) = \tfrac12 \pi^2
 \psi_{1}\!\left(\tfrac23\right) = \tfrac23 \pi^2 - 3\sqrt{3}\;\mathrm{Cl}_2\!\left(\tfrac23\pi\right)
 \psi_{1}\!\left(\tfrac34\right) = \pi^2 - 8G
 \psi_1(1) \; = \tfrac16 \pi^2

где Gпостоянная Каталана, а \mathrm{Cl}_2(\theta)функция Клаузена, связанная с мнимой частью дилогарифма через

 \mathrm{Cl}_2(\theta) = \mathrm{Im} \left[ \mathrm{Li}_2\!\left(e^{\mathrm{i}\theta}\right) \right]\; .

Используя формулу кратного аргумента и формулу дополнения, a также связь \psi_{1}\!\left(\tfrac18\right) с функцией Клаузена[1][2], получаем

 \psi_{1}\!\left(\tfrac16\right) = 2 \pi^2 + 15\sqrt{3}\;\mathrm{Cl}_2\!\left(\tfrac23\pi\right)
 \psi_{1}\!\left(\tfrac56\right) = 2 \pi^2 - 15\sqrt{3}\;\mathrm{Cl}_2\!\left(\tfrac23\pi\right)
 \psi_{1}\!\left(\tfrac18\right) = (2 + \sqrt{2}) \pi^2 + 4 (4-\sqrt{2}) G + 16\sqrt{2}\;\mathrm{Cl}_2\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)
 \psi_{1}\!\left(\tfrac38\right) = (2 - \sqrt{2}) \pi^2 - 4 (4+\sqrt{2}) G + 16\sqrt{2}\;\mathrm{Cl}_2\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)
 \psi_{1}\!\left(\tfrac58\right) = (2 - \sqrt{2}) \pi^2 + 4 (4+\sqrt{2}) G - 16\sqrt{2}\;\mathrm{Cl}_2\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)
 \psi_{1}\!\left(\tfrac78\right) = (2 + \sqrt{2}) \pi^2 - 4 (4-\sqrt{2}) G - 16\sqrt{2}\;\mathrm{Cl}_2\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)

Для значений за пределами интервала 0<z\leq 1 можно использовать рекуррентное соотношение, приведённое выше. Например,

 \psi_1\!\left(\tfrac54\right) = \pi^2 + 8G - 16
 \psi_1\!\left(\tfrac32\right) = \tfrac12\pi^2-4
 \psi_1(2) \; = \tfrac16\pi^2-1

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. C.C. Grosjean, Formulae concerning the computation of the Clausen integral \mathrm{Cl}_2(\theta), J. Comp. Appl. Math. 11 (1984) 331—342
  2. P.J. de Doelder, On the Clausen integral \mathrm{Cl}_2(\theta) and a related integral, J. Comp. Appl. Math. 11 (1984) 325—330

Ссылки[править | править вики-текст]