Дзета-функция Гурвица

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математике Дзета-функция Гурвица, названная в честь Адольфа Гурвица, — это одна из многочисленных дзета-функций, являющихся обобщениями дзета-функции Римана. Формально она может быть определена степенным рядом для комплексных аргументов s, при Re(s) > 1, и q, Re(q) > 0:

\zeta(s,q) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(q+n)^{s}}.

Этот ряд является абсолютно сходящимся для заданных значений s и q. Дзета-функция Римана — это частный случай дзета-функции Гурвица при q=1.

Аналитическое продолжение[править | править вики-текст]

Дзета функция Гурвица допускает аналитическое продолжение до мероморфной функции, определённой для всех комплексных s, при s ≠ 1. В точке s = 1 она имеет простой полюс с вычетом равным 1. Постоянный член разложения в ряд Лорана в окрестности точки s = 1 равен:

\lim_{s\to 1} \left[ \zeta (s,q) - \frac{1}{s-1}\right] =
\frac{-\Gamma'(q)}{\Gamma(q)} = -\psi(q),

где Γ(x) — это гамма-функция, и ψ(x) — это дигамма-функция.

Представления в виде рядов[править | править вики-текст]

Представление в виде сходящегося степенного ряда для q > −1 и произвольного комплексного s ≠ 1 было получено в 1930 году Гельмутом Хассе[1]


\zeta(s,q)=\frac{1}{s-1}
\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n+1}
\sum_{k=0}^n (-1)^k {n \choose k} (q+k)^{1-s}.

Этот ряд равномерно сходится на любом компактном подмножестве комплексной s-плоскости к целой функции. Внутренняя сумма может быть представлена в виде n-ой конечной разности для q^{1-s}, то есть:

\Delta^n q^{1-s} = \sum_{k=0}^n (-1)^{n-k} {n \choose k} (q+k)^{1-s}

где Δ — оператор конечной разности. Таким образом

\zeta(s,q)=\frac{1}{s-1}
\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n+1} \Delta^n q^{1-s}
= \frac{1}{s-1} {\log(1 + \Delta) \over \Delta} q^{1-s}.

Интегральные представления[править | править вики-текст]

Дзета-функция Гурвица имеет интегральное представление в виде преобразования Меллина:


\zeta(s,q)=\frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^\infty
\frac{t^{s-1}e^{-qt}}{1-e^{-t}}dt

для Re(s)>1 и Re(q) >0.

Формула Гурвица[править | править вики-текст]

\zeta(1-s,x)=\frac{1}{2s}\left[e^{-i\pi s/2}\beta(x;s) + e^{i\pi s/2} \beta(1-x;s) \right],

где

\beta(x;s)=
2\Gamma(s+1)\sum_{n=1}^\infty \frac {\exp(2\pi inx) } {(2\pi n)^s}=
\frac{2\Gamma(s+1)}{(2\pi)^s} \mbox{Li}_s (e^{2\pi ix})
.

Это представление дзета-функции Гурвица верно для 0 ≤ x ≤ 1 и s>1. Здесь \text{Li}_s (z) — это полилогарифм.

Функциональное уравнение[править | править вики-текст]

Данное функциональное уравнение связывает значения дзета-функции Гурвицa слева и справа от прямой Re(s)=1/2 в комплексной s-плоскости. Для натуральных m и n, таких что m ≤ n:

\zeta \left(1-s,\frac{m}{n} \right) =
\frac{2\Gamma(s)}{ (2\pi n)^s }
\sum_{k=1}^n \left[cos
\left( \frac {\pi s} {2} -\frac {2\pi k m} {n} \right)\;
\zeta \left( s,\frac {k}{n} \right)\right]

верно для всех значений s.

Ряд Тейлора[править | править вики-текст]

Производная дзета-функции Гурвица по второму аргументу также выражается через дзета-функцию Гурвица:

\frac {\partial} {\partial q} \zeta (s,q) = -s\zeta(s+1,q).

Таким образом ряд Тейлора имеет вид:

\zeta(s,x+y) = \sum_{k=0}^\infty \frac {y^k} {k!}
\frac {\partial^k} {\partial x^k} \zeta (s,x) =
\sum_{k=0}^\infty {s+k-1 \choose s-1} (-y)^k \zeta (s+k,x).

Ряд Лорана[править | править вики-текст]

Разложение дзета-функции Гурвица в ряд Лорана может быть использовано для определения констант Стильтьеса (англ.), которые появляются в разложении:

\zeta(s,q)=\frac{1}{s-1}+\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!} \gamma_n(q) \; (s-1)^n.

Преобразование Фурье[править | править вики-текст]

Дискретное преобразование Фурье по переменной s дзета-функции Гурвица является хи-функцией Лежандра[2]

Связь с многочленами Бернулли[править | править вики-текст]

Определённая выше функция ~\beta(x;n) обобщает многочлены Бернулли:

B_n(x) = -Re \left[ (-i)^n \beta(x;n) \right] .

С другой стороны,

\zeta(-n,x)=-{B_{n+1}(x) \over n+1}.

В частности, при n=0:

\zeta(0,x)= \frac{1}{2} -x.

Связь с тета-функцией Якоби[править | править вики-текст]

Если ~\vartheta (z,\tau) — это тета-функция Якоби (англ.), тогда

\int_0^\infty \left[\vartheta (z,it) -1 \right] t^{s/2} \frac{dt}{t}=
\pi^{-(1-s)/2} \Gamma \left( \frac {1-s}{2} \right)
\left[ \zeta(1-s,z) + \zeta(1-s,1-z) \right].

Эта формула верна для Re(s) > 0 и любого комплексного z, не являющегося целым числом. Для целого z=n формула упрощается:

\int_0^\infty \left[\vartheta (n,it) -1 \right] t^{s/2} \frac{dt}{t}=
2\  \pi^{-(1-s)/2} \ \Gamma \left( \frac {1-s}{2} \right) \zeta(1-s)
=2\  \pi^{-s/2} \ \Gamma \left( \frac {s}{2} \right) \zeta(s).

где ζ(s) — дзета-функция Римана. Последнее выражение является функциональным уравнением для дзета-функция Римана.

Связь с L-функцией Дирихле[править | править вики-текст]

При рациональных значениях аргумента дзета-функция Гурвица может быть представлена в виде линейной комбинации L-функций Дирихле и наоборот. Если q = n/k при k > 2, (n,k) > 1 и 0 < n < k, тогда

\zeta(s,n/k)=\sum_\chi\overline{\chi}(n)L(s,\chi),

при этом суммирование ведётся по всем характерам Дирихле по модулю k. И обратно

L(s,\chi)=\frac {1}{k^s} \sum_{n=1}^k \chi(n)\; \zeta \left(s,\frac{n}{k}\right).

в частности верно следующее представление:

k^s\zeta(s)=\sum_{n=1}^k \zeta\left(s,\frac{n}{k}\right),

обобщающее

\sum_{p=0}^{q-1}\zeta(s,a+p/q)=q^s\,\zeta(s,qa). (Верно при натуральном q и ненатуральном 1 − qa.)

Рациональные значения аргументов[править | править вики-текст]

Дзета-функция Гурвица встречается в различных интересных соотношениях для рациональных значений аргументов.[2] В частности, для многочленов Эйлера ~E_n(x):

E_{2n-1}\left(\frac{p}{q}\right) =
(-1)^n \frac{4(2n-1)!}{(2\pi q)^{2n}}
\sum_{k=1}^q \zeta\left(2n,\frac{2k-1}{2q}\right)
\cos \frac{(2k-1)\pi p}{q}

и

E_{2n}\left(\frac{p}{q}\right) =
(-1)^n \frac{4(2n)!}{(2\pi q)^{2n+1}}
\sum_{k=1}^q \zeta\left(2n+1,\frac{2k-1}{2q}\right)
\sin \frac{(2k-1)\pi p}{q},

Кроме того

\zeta\left(s,\frac{2p-1}{2q}\right) =
2(2q)^{s-1} \sum_{k=1}^q \left[
C_s\left(\frac{k}{q}\right) \cos \left(\frac{(2p-1)\pi k}{q}\right) +
S_s\left(\frac{k}{q}\right) \sin \left(\frac{(2p-1)\pi k}{q}\right)
\right],

верное для 1\le p \le q. Здесь ~C_\nu(x) и ~S_\nu(x) выражаются через хи-функциию Лежандра ~\chi_\nu как

C_\nu(x) = \operatorname{Re}\, \chi_\nu (e^{ix})

и

S_\nu(x) = \operatorname{Im}\, \chi_\nu (e^{ix}).

Приложения[править | править вики-текст]

Дзета-функция Гурвица возникает в различных разделах математики. Чаще всего встречается в теории чисел, где её теория является наиболее развитой. Также дзета-функция Гурвица встречается в теории фракталов и динамических систем. Дзета-функция Гурвица применяется в математической статистике, возникает в законе Ципфа. В физике элементарных частиц возникает в формуле Швингера[3], дающей точный результат для показателя рождения пар в уравнении Дирака для стационарного электромагнитного поля.

Частные случаи и обобщения[править | править вики-текст]

Дзета-функция Гурвица связяна с полигамма-функцией:

\psi^{(m)}(z)= (-1)^{m+1} m! \zeta (m+1,z).\,

Дзета-функция Лерха обобщает дзета-функцию Гурвица:

\Phi(z, s, q) = \sum_{k=0}^\infty
\frac { z^k} {(k+q)^s}

то есть

\zeta (s,q)=\Phi(1, s, q).\,

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Helmut Hasse Ein Summierungsverfahren für die Riemannsche ζ-Reihe (нем.) // Mathematische Zeitschrift. — 1930. — Т. 32. — № 1. — DOI:10.1007/BF01194645
  2. 1 2 Djurdje Cvijovic, Jacek Klinowski Values of the Legendre chi and Hurwitz zeta functions at rational arguments (англ.) // Math. Comp.. — 1999. — № 68. — С. 1623-1630.
  3. J. Schwinger On gauge invariance and vacuum polarization // Physical Review. — 1951. — Т. 82. — № 5. — С. 664–679. — DOI:10.1103/PhysRev.82.664

Литература[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]