Удельное электрическое сопротивление

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Удельное электрическое сопротивление
\rho
Размерность

СИ:L3MT-3I-2
СГС:T

Единицы измерения
СИ

Ом·м

СГС

с

Уде́льное электри́ческое сопротивле́ние, или просто удельное сопротивление вещества — физическая величина, характеризующая способность вещества препятствовать прохождению электрического тока.

Удельное сопротивление обозначается греческой буквой ρ. Величина, обратная удельному сопротивлению, называется удельной проводимостью (удельной электропроводностью). В отличие от электрического сопротивления, являющегося свойством проводника и зависящего от его материала, формы и размеров, удельное электрическое сопротивление является свойством только вещества.

Электрическое сопротивление однородного проводника с удельным сопротивлением ρ, длиной l и площадью поперечного сечения S может быть рассчитано по формуле R=\frac{\rho \cdot l}{S} (при этом предполагается, что ни площадь, ни форма поперечного сечения не меняются вдоль проводника). Соответственно, для ρ выполняется \rho =\frac{R \cdot S}{l}.

Из последней формулы следует: физический смысл удельного сопротивления вещества заключается в том, что оно представляет собой сопротивление изготовленного из этого вещества однородного проводника единичной длины и с единичной площадью поперечного сечения.

Единицы измерения[править | править вики-текст]

Единица измерения удельного сопротивления в Международной системе единиц (СИ) — Ом·м[1]. Из соотношения \rho =\frac{R \cdot S}{l} следует, что единица измерения удельного сопротивления в системе СИ равна такому удельному сопротивлению вещества, при котором однородный проводник длиной 1 м с площадью поперечного сечения 1 м², изготовленный из этого вещества, имеет сопротивление, равное 1 Ом[2]. Соответственно, удельное сопротивление произвольного вещества, выраженное в единицах СИ, численно равно сопротивлению участка электрической цепи, выполненного из данного вещества, длиной 1 м и площадью поперечного сечения 1 м².

В технике также применяется устаревшая внесистемная единица Ом·мм²/м, равная 10−6 от 1 Ом·м[1]. Данная единица равна такому удельному сопротивлению вещества, при котором однородный проводник длиной 1 м с площадью поперечного сечения 1 мм², изготовленный из этого вещества, имеет сопротивление, равное 1 Ом[2]. Соответственно, удельное сопротивление какого-либо вещества, выраженное в этих единицах, численно равно сопротивлению участка электрической цепи, выполненного из данного вещества, длиной 1 м и площадью поперечного сечения 1 мм².

Обобщение понятия удельного сопротивления[править | править вики-текст]

Удельное сопротивление можно определить также для неоднородного материала, свойства которого меняются от точки к точке. В этом случае оно является не константой, а скалярной функцией координат — коэффициентом, связывающим напряжённость электрического поля \vec{E}(\vec{r}) и плотность тока \vec{J}(\vec{r}) в данной точке \vec{r}. Указанная связь выражается законом Ома в дифференциальной форме:

\vec{E}(\vec{r}) = \rho(\vec{r})\vec{J}(\vec{r}).

Эта формула справедлива для неоднородного, но изотропного вещества. Вещество может быть и анизотропно (большинство кристаллов, намагниченная плазма и т. д.), то есть его свойства могут зависеть от направления. В этом случае удельное сопротивление является зависящим от координат тензором второго ранга, содержащим девять компонент  \rho_{ij}. В анизотропном веществе векторы плотности тока и напряжённости электрического поля в каждой данной точке вещества не сонаправлены; связь между ними выражается соотношением

E_i(\vec{r}) = \sum_{j=1}^3\rho_{ij}(\vec{r})J_j(\vec{r}).

В анизотропном, но однородном веществе тензор \rho_{ij} от координат не зависит.

Тензор  \rho_{ij} симметричен, то есть для любых i и j выполняется  \rho_{ij} = \rho_{ji}.

Как и для всякого симметричного тензора, для  \rho_{ij} можно выбрать ортогональную систему декартовых координат, в которых матрица \rho_{ij} становится диагональной, то есть приобретает вид, при котором из девяти компонент \rho_{ij} отличными от нуля являются лишь три:  \rho_{11},  \rho_{22} и  \rho_{33}. В этом случае, обозначив \rho_{ii} как \rho_i, вместо предыдущей формулы получаем более простую

 E_i = \rho_i J_i.

Величины \rho_i называют главными значениями тензора удельного сопротивления.

Связь с удельной проводимостью[править | править вики-текст]

В изотропных материалах связь между удельным сопротивлением \rho и удельной проводимостью \sigma выражается равенством

\rho = \frac{1}{\sigma}.

В случае анизотропных материалов связь между компонентами тензора удельного сопротивления \rho_{ij} и тензора удельной проводимости \sigma_{ij} имеет более сложный характер. Действительно, закон Ома в дифференциальной форме для анизотропных материалов имеет вид:

J_i(\vec{r}) = \sum_{j=1}^3\sigma_{ij}(\vec{r})E_j(\vec{r}).

Из этого равенства и приведённого ранее соотношения для E_i(\vec{r}) следует, что тензор удельного сопротивления является обратным тензору удельной проводимости. С учётом этого для компонент тензора удельного сопротивления выполняется:

 \rho_{11} = \frac{1}{\det(\sigma)}[\sigma_{22}\sigma_{33} - \sigma_{23}\sigma_{32}],
 \rho_{12} = \frac{1}{\det(\sigma)}[\sigma_{33}\sigma_{12} - \sigma_{13}\sigma_{32}],

где \det(\sigma) — определитель матрицы, составленной из компонент тензора  \sigma_{ij}. Остальные компоненты тензора удельного сопротивления получаются из приведённых уравнений в результате циклической перестановки индексов 1, 2 и 3[3].

Удельное электрическое сопротивление некоторых веществ[править | править вики-текст]

Металлические монокристаллы[править | править вики-текст]

В таблице приведены главные значения тензора удельного сопротивления монокристаллов при температуре 20 °C[4].

Кристалл ρ12, 10-8 Ом·м ρ3, 10-8 Ом·м
Олово 9,9 14,3
Висмут 109 138
Кадмий 6,8 8,3
Цинк 5,91 6,13
Теллур 2,90·109 5,9·109

Металлы и сплавы, применяемые в электротехнике[править | править вики-текст]

Металл ρ, Ом·мм²/м
Серебро 0,015…0,0162
Медь 0,01724…0,018
Золото 0,023
Алюминий 0,0262…0,0295
Иридий 0,0474
Молибден 0,054
Вольфрам 0,053…0,055
Цинк 0,059
Никель 0,087
Железо 0,098
Платина 0,107
Олово 0,12
Свинец 0,217…0,227
Титан 0,5562…0,7837
Висмут 1,2
Сплав ρ, Ом·мм²/м
Сталь 0,103…0,137
Никелин 0,42
Константан 0,5
Манганин 0,43…0,51
Нихром 1,05…1,4
Фехраль 1,15…1,35
Хромаль 1,3…1,5
Латунь 0,025…0,108
Бронза 0,095…0,1

Значения даны при температуре t = 20 °C. Сопротивления сплавов зависят от их химического состава и могут варьироваться. Для чистых веществ колебания численных значений удельного сопроитвления обусловлены различными методами механической и термической обработки, например, отжигом проволоки после волочения.

Другие вещества[править | править вики-текст]

Вещество ρ, Ом·мм²/м
Сжиженные углеводородные газы 0,84·1010

Тонкие плёнки[править | править вики-текст]

Сопротивление тонких плоских плёнок (когда её толщина много меньше расстояния между контактами) принято называть «удельным сопротивлением на квадрат», R_\mathrm{Sq}. Этот параметр удобен тем, что сопротивление квадратного куска проводящей плёнки не зависит от размеров этого квадрата, при приложении напряжения по противоположным сторонам квадрата. При этом сопротивление куска плёнки, если он имеет форму прямоугольника, не зависит от его линейных размеров, а только от отношения длины (измеренной вдоль линий тока) к его ширине L/W: R_\mathrm{Sq}=R W/L, где R — измеренное сопротивление. В общем случае, если форма образца отличается от прямоугольной, и поле в пленке неоднородное, используют метод ван дер Пау.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. 1 2 Деньгуб В. М., Смирнов В. Г. Единицы величин. Словарь-справочник. — М.: Издательство стандартов, 1990. — С. 93. — 240 с. — ISBN 5-7050-0118-5.
  2. 1 2 Чертов А. Г. Единицы физических величин. — М.: «Высшая школа», 1977. — 287 с.
  3. Давыдов А. С. Теория твёрдого тела. — М.: «Наука», 1976. — С. 191—192. — 646 с.
  4. Шувалов Л. А. и др. Физические свойства кристаллов // Современная кристаллография / Гл. ред. Б. К. Вайнштейн. — М.: «Наука», 1981. — Т. 4. — С. 317.

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]