Функция Грина

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Фу́нкция Гри́на используется для решения неоднородных дифференциальных уравнений с граничными условиями (неоднородной краевой задачи). Названа в честь английского математика Джорджа Грина (англ. George Green), который первым развил соответствующую теорию в 1830-х гг.

Функции Грина полезны в электростатике — для решения уравнения Пуассона; в теории конденсированных сред — они позволяют решить уравнение диффузии (и совпадающее с ним уравнение теплопроводности); в квантовой механике — функция Грина гамильтониана является одной из ключевых функций и связана с плотностью состояний. Функции Грина, используемые в этих областях, очень похожи, поскольку уравнения диффузии и уравнение Шрёдингера в некотором смысле подобны. Все области математической и теоретической физики, где крайне полезны функции Грина, пожалуй, трудно даже перечислить. Они помогают находить стационарные и нестационарные решения, в том числе при разнообразных граничных условиях.

В физике элементарных частиц и статистической физике функции Грина используются как пропагаторы в диаграммах Фейнмана (и выражение «функция Грина» часто применяется вообще к корреляционной функции в квантовой теории поля). Функция Грина широко применяется в приложениях теории рассеяния к физике твёрдого тела (рентгенография, расчёты электронных спектров металлических материалов).

Определение и использование[править | править вики-текст]

Функция Грина G(xs) линейного дифференциального оператора L = L(x), действующего на обобщённых функциях на подмножестве евклидового пространства Rn в точке s — это любое решение уравнения

L~G(x,s)=\delta(x-s)

 

 

 

 

(1)

где \ \delta — это дельта-функция Дирака. Это свойство функции Грина может использоваться для решения дифференциального уравнения вида

L~u(x)=f(x)

 

 

 

 

(2)

Функция Грина — это обратный оператор к L. Поэтому ее нередко символически обозначают как L^{-1}.

Если ядро L нетривиально, то функция Грина неединственна. Однако на практике использование принципа симметрии, граничных условий и/или других дополнительных условий позволяет определить конкретную функцию Грина. Следует помнить, что, вообще говоря, функция Грина — не обычная, а обобщённая функция, то есть она может выпадать из класса обычных функций, например, иметь особенности вида дельта-функции или её производных.

Функция Грина — это также полезный инструмент для решения волнового уравнения, уравнения диффузии и квантовомеханических уравнений, где функция Грина оператора Гамильтона играет важнейшую роль и связана с плотностью состояний. В физике функция Грина обычно определяется с противоположным знаком:

L~G(x,s)=-\delta(x-s)\,,

что не меняет существенно её свойства.

Если оператор трансляционно инвариантен, то есть если L имеет постоянные коэффициенты по отношению к x, то функция Грина может быть выбрана в виде конволюционного оператора

G(x,s)=G(x-s) \,

В таком случае она совпадает с импульсной переходной функцией из теории линейных стационарных систем.

Замечание[править | править вики-текст]

Иногда, когда неоднородное уравнение содержит в правой части постоянный коэффициент, то есть имеет вид ~Lf=\kappa h, функция Грина ~g(x,s) также определяется с учётом этого коэффициента, то есть, по определению тогда она есть решение уравнения[1]

L f_1 (x) = \kappa\, \delta(x - s).

В этом случае решение исходного неоднородного уравнения ~Lf=\kappa h с произвольной функцией ~h в правой части записывается как

f(x)=\int{\kappa\, h(s)\, g(x,s)\,ds}.
  1. Ясно, что описанное в этом разделе отличие в определении функции Грина от данного в статье выше, касается не сути дела, а всего лишь предпочитаемой формы записи

Функция Грина оператора Штурма — Лиувилля (одномерный случай)[править | править вики-текст]

Постановка задачи[править | править вики-текст]

Пусть \! L — оператор Штурма — Лиувилля, линейный дифференциальный оператор вида

L={d\over dx}\left[p(x){d\over dx}\right]-q(x)

и пусть \! D — оператор краевых условий

Du=\left\{\begin{matrix}\alpha_1 u^\prime(0)+\beta_1 u(0),\\ \alpha_2 u^\prime(l)+\beta_2 u(l).\end{matrix}\right.

Пусть \! f(x) — непрерывная функция на промежутке [0,\;l]. Предположим также, что задача

\begin{matrix}Lu=f, \\ Du=0\end{matrix}

регулярна, то есть существует только тривиальное решение однородной задачи.

Теорема Грина[править | править вики-текст]

Тогда существует единственное решение \! u(x), удовлетворяющее системе

\begin{matrix}Lu=f,\\ Du=0,\end{matrix}

которое задаётся выражением

u(x)=\int\limits_0^l f(s)g(x,\;s)\,ds,

где g(x,\;s) — функция Грина, которая удовлетворяет следующим требованиям (они же — свойства функции Грина):

  1. g(x,\;s) непрерывна по \! x и \! s.
  2. Для x\ne s, Lg(x,\;s)=0.
  3. Для s\ne 0,\;l, Dg(x,\;s)=0.
  4. Скачок производной: g^\prime(s_{+0},\;s)-g^\prime(s_{-0},\; s)=1/p(s).
  5. Симметрична: g(x,\;s)=g(s,\;x).

Нахождение функции Грина[править | править вики-текст]

В виде ряда через собственные функции оператора[править | править вики-текст]

Если множество собственных векторов (собственных функций) ~\Psi_n дифференциального оператора L\

(то есть набор функций ~\Psi_n(x), таких, что для каждой найдётся число ~\lambda_n \ne 0, что ~L\Psi_n=\lambda_n\Psi_n)

полно, то можно построить функцию Грина с помощью собственных векторов ~\Psi_n и собственных значений ~\lambda_n.

Под полнотой системы функций ~\Psi_n(x) подразумевается выполнение соотношения:

\delta(x-x^\prime)=\sum_{n=0}^\infty\Psi_n(x)\bar\Psi_n(x^\prime).

Можно показать, что

G(x,\;x^\prime)=\sum_{n=0}^\infty\frac{\Psi_n(x)\bar\Psi_n(x^\prime)}{\lambda_n}.

Действительно, подействовав оператором ~L на эту сумму, мы получим дельта-функцию (в силу соотношения полноты).

(Чертой сверху обозначено комплексное сопряжение, если ~\Psi_n — вещественные функции, его можно не делать).

Для параболических уравнений[править | править вики-текст]

Основной источник: [1]

Уравнение теплопроводности, уравнение Шредингера и уравнения диффузии можно представить в виде уравнения в частных производных:

H\psi(x,\beta) = -\frac{\partial\psi(x,\beta)}{\partial\beta}

 

 

 

 

(2)

где H — эрмитов оператор, x= \mathcal{f} x_{1}, x_{2}, ..., x_{n} \mathcal{g} - пространственные координаты

  • для уравнения теплопроводности \Delta T = \frac {c} {k} \frac{\partial T} {\partial t}

\psi — температура, \beta=\frac{k}{c}t.

  • для уравнения Шредингера H\psi=-\frac{\hbar}{i}\frac{\partial \psi}{\partial t}

\psi — волновая функция, \beta=\frac{\hbar i}{2m}t.

  • для уравнения диффузии \nabla ^{2} \psi = \frac{1}{\lambda}\frac{\partial \psi}{\partial t}

\psi — концентрация вещества, \beta=\lambda t.

Собственные функции \varphi_{m} оператора H образуют полную ортонормированную систему и удовлетворяют уравнению

H\varphi_{m}=\lambda_{m}\varphi_{m}.

Предположим, что решение уравнения (1) можно представить в виде:

\psi(x, \beta) = \sum_{m=0}^{\infty}A_{m}(\beta)\varphi_{m}(x)

 

 

 

 

(3)

Подставляя в уравнение (2) предполагаемую форму решения, получаем:

H\psi=\sum_{m=0}^{\infty}A_{m}(\beta)H\varphi_{m}(x) = 
- \sum_{m=0}^{\infty} \varphi_{m}(x)\frac{\partial}{\partial \beta}A_{m}(\beta).

Таким образом:

\sum_{m=0}^{\infty}[\lambda_{m}A_{m}(\beta)+\frac{\partial}{\partial \beta}A_{m}(\beta)]\varphi_{m}(x) = 0.

Это уравнение должно выполняться для всех m. Получаем уравнение:

-\lambda_{m}A_{m}(\beta)=\frac{\partial A_{m}(\beta)}{\partial \beta},

откуда

A_{m}(\beta)=A_{m}(0)e^{-\lambda_{m} \beta}.

Следовательно, решение исходного уравнения (2) можно представить в виде:

\psi(x, \beta) = \sum_{m=0}^{\infty}A_{m}(0)e^{-\lambda_{m} \beta}\varphi_{m}(x).

Считая ряд (3) равномерно сходящимся, можно найти, что:

A_{m}(\beta) = \int \varphi_{m}^{*}(x)\psi(x, \beta)d\tau,

где d\tau=dx_{1}dx_{2}...dx_{n} — элемент объёма.

Из этой формулы следует:

A_{m}(0) = \int \varphi_{m}^{*}(x)\psi(x, 0)d\tau

Итак, если задано начальное состояние, то

\psi(x, \beta) = \sum_{m=0}^{\infty} \int \psi (x', 0) \varphi_{m}^{*}(x')\varphi_{m}(x)e^{-\lambda_{m} \beta}d\tau'

Это уравнение можно представить в более удобной форме:

\psi(x, \beta) = \int \langle x | G(\beta) | x' \rangle \psi(x', 0) d\tau',

где:

 \langle x | G(\beta) | x' \rangle =  \sum_{m=0}^{\infty}  \varphi_{m}^{*}(x') \varphi_{m}(x)e^{-\lambda_{m} \beta}.

Это выражение называется функцией Грина для уравнения (1).

Функция Грина для лапласиана[править | править вики-текст]

Функция Грина для лапласиана может быть легко получена из теоремы Грина.

Для получения теоремы Грина, начнём с закона Гаусса :

\int\limits_V\nabla\cdot\hat A\ dV=\int\limits_S\hat A\cdot d\hat\sigma.

Допустим A=\varphi\nabla\psi-\psi\nabla\varphi и подставим в закон Гаусса . Вычислим \nabla\cdot\hat A и применим цепное правило для \nabla оператора:

\nabla\cdot\hat A=\nabla\cdot(\varphi\nabla\psi-\psi\nabla\varphi)=
=(\nabla\varphi)\cdot(\nabla\psi)+\varphi\nabla^2\psi-(\nabla\varphi)\cdot(\nabla\psi)-\psi\nabla^2\varphi=\varphi\nabla^2\psi-\psi\nabla^2\varphi.

Подставляя результат в теорему Гаусса, мы получаем теорему Грина:

\int\limits_V (\varphi\nabla^2\psi-\psi\nabla^2\varphi)\ dV=\int\limits_S (\varphi\nabla\psi-\psi\nabla\varphi)\cdot d\hat\sigma.

Предполагая, что наш линейный дифференциальный оператор L Лапласиан, \nabla^2, и то, что у нас имеется для него функция Грина G. Определение функции Грина в этом случае запишется в виде:

LG(x,\;x^\prime)=\nabla^2G(x,\;x^\prime)=\delta(x-x^\prime).

Положим \psi=G в теореме Грина. Тогда получим:

\int\limits_V (\varphi(x^\prime)\delta(x-x^\prime)-G(x,\;x^\prime)\nabla^2\varphi(x^\prime))\ d^3x^\prime=
=\int\limits_S (\varphi(x^\prime)\nabla^\prime G(x,\;x^\prime)-G(x,\;x^\prime)\nabla^\prime\varphi(x^\prime))\cdot d\hat\sigma^\prime.

Используя выражение, мы можем решить уравнение Лапласа (\nabla^2\varphi(x)=0) и уравнение Пуассона ((\nabla^2\varphi(x)=-4\pi\rho(x)) с граничными условиями Неймана или Дирихле. Другими словами, мы можем найти решение \varphi(x) всюду внутри заданной области, если (1) значение \varphi(x) задано на границе этой области (граничные условия Дирихле), или (2) нормальная производная \varphi(x) задана на границе этой области (граничные условия Неймана).

Пусть нас интересует решение \varphi(x) внутри области. В этом случае интеграл \int\limits_V\varphi(x^\prime)\delta(x-x^\prime)\ d^3x^\prime упрощается до \varphi(x) в силу основного свойства дельта-функции, и мы имеем:

\varphi(x)=\int\limits_V G(x,\;x^\prime)\rho(x^\prime)\ d^3x^\prime+\int\limits_S (\varphi(x^\prime)\nabla^\prime G(x,\;x^\prime)-G(x,\;x^\prime)\nabla^\prime\varphi(x^\prime))\cdot d\hat\sigma^\prime.

Эта формула выражает известное свойство гармонических функций, состоящее в том, что если известно значение нормальной производной на границе области, то известны и все значения функции в любой внутренней точке этой области.

В электростатике \varphi(x) понимается как электростатический потенциал, \rho(x) как плотность электрического заряда, а нормальная производная \nabla\varphi(x^\prime)\cdot d\hat\sigma^\prime как нормальная составляющая электрического поля.

При решении краевой задачи Дирихле функция Грина выбирается в виде G(x,\;x^\prime). Эта функция обращается в нуль, когда x или x^\prime находится на границе раздела; и наоборот, решая краевую задачу Неймана, следует выбирать функцию Грина так, чтобы на поверхности обращалась в нуль её нормальная производная. Таким образом в интеграле по поверхности остаётся только одно из двух слагаемых.

При отсутствии граничных условий функция Грина для лапласиана имеет вид:

G(\hat x,\;\hat x^\prime)=\frac{1}{\left|\hat x-\hat x^\prime\right|}.

Считая граничную поверхность бесконечно большой и подставляя в это выражение функцию Грина, мы придём к аналогичному выражению для электрического потенциала через электрическую плотность заряда.

\varphi(x)=\int\limits_V\frac{\rho(x^\prime)}{\left|\hat x-\hat x^\prime\right|}\ d^3x^\prime.

Пример[править | править вики-текст]

(Этот пример служит иллюстрацией к параграфу Функция Грина оператора Штурма — Лиувилля (одномерный случай), причём описанные здесь соображения иллюстрируют пункты теоремы из соответствующего параграфа, ссылки на пункты которой присутствуют в тексте ниже).

Дана задача

\begin{matrix}Lu\end{matrix}=u^{\prime\prime}+u=f(x);
u(0)=0,\quad u\left(\frac{\pi}{2}\right)=0.

Найти функцию Грина.

Первый шаг: Функция Грина ~g(x,s) в данном случае по определению должна быть решением уравнения

g^{\prime\prime} + g = \delta(x - s)

 

 

 

 

(3)

где двумя штрихами обозначена вторая производная по x.

Для x \ne s, где \delta-функция равна нулю, это уравнение сводится к однородному (пункт 2 упомянутой теоремы):

g^{\prime\prime} + g = 0,

то есть для всех точек, кроме s, функция Грина будет решением такого однородного уравнения.

Общее решение такого уравнения

~g = A \cos x + B \sin x,

где ~A и ~B — константы (не зависят от ~x).

Таким образом, ~g(x,s) должно иметь именно такой вид всюду, кроме точки ~s, причём слева и справа от неё коэффициенты ~A и ~B могут (и будут) иметь разное значение.

Наложим на функцию Грина граничные условия, совпадающие с граничными условиями исходной задачи (пункт 3 упомянутой во вводном замечании теоремы). Функция Грина с наложенными так граничными условиями удобна тем, что конструируемые суммированием или интегрированием таких функций Грина решения автоматически будут удовлетворять этим граничным условиям.

Из левого граничного условия: ~u(0) = 0 — налагаемого на функцию Грина мы видим, что для ~x < s коэффициент ~A общего решения должен быть нулём, то есть для ~x < s

g(x,\;s)=B\cdot\sin x.

Точно так же из правого граничного условия: ~u\left(\frac{\pi}{2}\right)=0 — получаем равенство нулю коэффициента ~B, то есть для ~x > s

g(x,\;s)=A\cdot\cos x.

В итоге, учитывая, что коэффициенты A и B вообще говоря могут зависеть от s, можем записать:

g(x,\;s)=\left\{\begin{matrix} 
B(s)\sin x,\;\;x<s \\
A(s)\cos x,\;\;s<x\end{matrix}\right.

Второй шаг:

Нужно определить ~A(s) и ~B(s).

Проинтегрировав дважды левую и правую часть уравнения (3) с дельта-функцией в правой части, мы увидим, что функция Грина должна быть непрерывна (пункт 1 упомянутой теоремы), а отсюда условие сшивки решения x < s и x > s:

~B(s)\sin s=A(s)\cos s.

Проинтегрировав же левую и правую часть того же уравнения от  x=s-\varepsilon до  x=s+\varepsilon получим условие на скачок первой производной (пункт 4 теоремы), и используя его, получим:

g'(s_{+0},s) - g'(s_{-0},s) = -A(s)\cdot\sin s -B(s)\cdot\cos s=1.

Используя правило Крамера или просто угадывая решение системы из двух этих уравнений, получим, что

A(s)=-\sin s;\quad B(s)=-\cos s.

Эти выражения удовлетворяют условию пункта 5 теоремы.

Тогда функция Грина задачи:

g(x,\;s)=\left\{\begin{matrix}
-1 \cdot \cos s\cdot\sin x,\;\;x<s \\
-1 \cdot \sin s\cdot\cos x,\;\;s<x 
\end{matrix}\right.,

что можно записать как

g(x,\;s)=\frac12\left(\sin\left|x-s\right|-\sin(x+s)\right).

Другие примеры[править | править вики-текст]

  • Пусть дано множество \mathbb R и оператор \ L равен \ d/dx. Тогда функция Хевисайда \ H(x-x_0) является функцией Грина для \ L при \ x_0.
  • Пусть многообразие задаётся первой четвертью плоскости { (x,\;y):\;x,\;y\geqslant 0} и \ L — оператор Лапласа. Также предположим, что при \ x=0 наложены краевые условия Дирихле, при \ y=0 — краевые условия Неймана. Тогда функция Грина примет вид
G(x,\;y,\;x_0,\;y_0)=\frac{1}{2\pi}\left[\ln\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}-\ln\sqrt{(x+x_0)^2+(y-y_0)^2}\right]+
+\frac{1}{2\pi}\left[\ln\sqrt{(x-x_0)^2+(y+y_0)^2}-\ln\sqrt{(x+x_0)^2+(y+y_0)^2}\right].

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Ли Цзун-дао Математические методы в физике. - М.: Мир, 1965. - c. 200

Литература[править | править вики-текст]

  • Eyges, Leonard, The Classical Electromagnetic Field, Dover Publications, New York, 1972. ISBN 0-486-63947-9. (5-я глава содержит очень понятное изложение использования функций Грина для решения краевых задач в электростатике.)
  • A. D. Polyanin and V. F. Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition), Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2
  • A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9