Оператор набла в различных системах координат

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Здесь приведён список векторных дифференциальных операторов в некоторых системах координат.

Таблица операторов[править | править вики-текст]

Здесь используются стандартные физические обозначения. Для сферических координат, θ обозначает угол между осью z и радиус-вектором точки, φ — угол между проекцией радиус-вектора на плоскость x-y и осью x.

Запись оператора Гамильтона в различных системах координат
Оператор Прямоугольные координаты
(x, y, z)
Цилиндрические координаты
(ρ, φ, z)
Сферические координаты
(r, θ, φ)
Параболические координаты
(σ, τ, z)
Формулы преобразования координат \begin{matrix}
    \rho & = & \sqrt{x^2+y^2} \\
    \varphi & = & \operatorname{arctg}(y/x) \\
       z & = & z \end{matrix} \begin{matrix}
    x & = & \rho\cos\varphi \\
    y & = & \rho\sin\varphi \\
    z & = & z \end{matrix} \begin{matrix}
    x & = & r\sin\theta\cos\varphi \\
    y & = & r\sin\theta\sin\varphi \\
    z & = & r\cos\theta \end{matrix} \begin{matrix}
    x & = & \sigma \tau\\
    y & = & \frac{1}{2} \left( \tau^{2} - \sigma^{2} \right) \\
    z & = & z \end{matrix}
\begin{matrix}
   r & = & \sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}  \\
   \theta  & = & \arccos \left( z/r \right)  \\
   \varphi  & = & \operatorname{arctg}(y/x)  \\
\end{matrix} \begin{matrix}
    r      & = & \sqrt{\rho^2 + z^2} \\
    \theta & = & \operatorname{arctg}{(\rho/z)}\\
    \varphi   & = & \varphi \end{matrix} \begin{matrix}
    \rho & = & r\sin{\theta} \\
    \varphi & = & \varphi\\
    z    & = & r\cos{\theta} \end{matrix} \begin{matrix}
    \rho\cos\varphi & = & \sigma \tau\\
    \rho\sin\varphi & = & \frac{1}{2} \left( \tau^{2} - \sigma^{2} \right) \\
    z & = & z \end{matrix}
Радиус-вектор произвольной точки x\mathbf{\hat x} + y\mathbf{\hat y} + z\mathbf{\hat z} \rho\boldsymbol{\hat \rho} + z\boldsymbol{\hat z} r\boldsymbol{\hat r} \frac{1}{2}\sqrt{ \sigma^{2} + \tau^{2} }\sigma\boldsymbol{\hat \sigma} + \frac{1}{2}\sqrt{ \sigma^{2} + \tau^{2} }\tau\boldsymbol{\hat \tau} + z\mathbf{\hat z}
Связь единичных векторов \begin{matrix}
    \boldsymbol{\hat\rho} & = &  \frac{x}{\rho}\mathbf{\hat x}+\frac{y}{\rho}\mathbf{\hat y} \\
    \boldsymbol{\hat\varphi} & = & -\frac{y}{\rho}\mathbf{\hat x}+\frac{x}{\rho}\mathbf{\hat y} \\
    \mathbf{\hat z}       & = &  \mathbf{\hat z}
    \end{matrix} \begin{matrix}
    \mathbf{\hat x} & = & \cos\varphi\boldsymbol{\hat\rho}-\sin\varphi\boldsymbol{\hat\varphi} \\
    \mathbf{\hat y} & = & \sin\varphi\boldsymbol{\hat\rho}+\cos\varphi\boldsymbol{\hat\varphi} \\
    \mathbf{\hat z} & = & \mathbf{\hat z}
    \end{matrix} \begin{matrix}
    \mathbf{\hat x} & = & \sin\theta\cos\varphi\boldsymbol{\hat r}+\cos\theta\cos\varphi\boldsymbol{\hat\theta}-\sin\varphi\boldsymbol{\hat\varphi} \\
    \mathbf{\hat y} & = & \sin\theta\sin\varphi\boldsymbol{\hat r}+\cos\theta\sin\varphi\boldsymbol{\hat\theta}+\cos\varphi\boldsymbol{\hat\varphi} \\
    \mathbf{\hat z} & = & \cos\theta        \boldsymbol{\hat r}-\sin\theta        \boldsymbol{\hat\theta} \\
    \end{matrix} \begin{matrix}
    \boldsymbol{\hat \sigma} & = &  \frac{\tau}{\sqrt{\tau^2+\sigma^2}}\mathbf{\hat x}-\frac{\sigma}{\sqrt{\tau^2+\sigma^2}}\mathbf{\hat y} \\
    \boldsymbol{\hat\tau} & = &  \frac{\sigma}{\sqrt{\tau^2+\sigma^2}}\mathbf{\hat x}+\frac{\tau}{\sqrt{\tau^2+\sigma^2}}\mathbf{\hat y} \\
    \mathbf{\hat z}       & = &  \mathbf{\hat z}
    \end{matrix}
\begin{matrix}
    \mathbf{\hat r}         & = & \frac{x\mathbf{\hat x}+y\mathbf{\hat y}+z\mathbf{\hat z}}{r} \\
    \boldsymbol{\hat\theta} & = & \frac{xz\mathbf{\hat x}+yz\mathbf{\hat y}-\rho^2\mathbf{\hat z}}{r \rho} \\
    \boldsymbol{\hat\varphi}   & = & \frac{-y\mathbf{\hat x}+x\mathbf{\hat y}}{\rho}
    \end{matrix} \begin{matrix}
    \mathbf{\hat r}         & = & \frac{\rho}{r}\boldsymbol{\hat \rho}+\frac{   z}{r}\mathbf{\hat z} \\
    \boldsymbol{\hat\theta} & = & \frac{z}{r}\boldsymbol{\hat \rho}-\frac{\rho}{r}\mathbf{\hat z} \\
    \boldsymbol{\hat\varphi}   & = & \boldsymbol{\hat\varphi}
    \end{matrix} \begin{matrix}
    \boldsymbol{\hat \rho} & = & \sin\theta\mathbf{\hat r}+\cos\theta\boldsymbol{\hat\theta} \\
    \boldsymbol{\hat\varphi} & = & \boldsymbol{\hat\varphi} \\
    \mathbf{\hat z}       & = & \cos\theta\mathbf{\hat r}-\sin\theta\boldsymbol{\hat\theta} \\
    \end{matrix} \begin{matrix}
    \end{matrix}
Векторное поле \mathbf{A} A_x\mathbf{\hat x} + A_y\mathbf{\hat y} + A_z\mathbf{\hat z} A_\rho\boldsymbol{\hat \rho} + A_\varphi\boldsymbol{\hat \varphi} + A_z\boldsymbol{\hat z} A_r\boldsymbol{\hat r} + A_\theta\boldsymbol{\hat \theta} + A_\varphi\boldsymbol{\hat \varphi} A_\sigma\boldsymbol{\hat \sigma} + A_\tau\boldsymbol{\hat \tau} + A_\varphi\boldsymbol{\hat z}
Градиент \nabla f {\partial f \over \partial x}\mathbf{\hat x} + {\partial f \over \partial y}\mathbf{\hat y} 
  + {\partial f \over \partial z}\mathbf{\hat z} {\partial f \over \partial \rho}\boldsymbol{\hat \rho} 
  + {1 \over \rho}{\partial f \over \partial \varphi}\boldsymbol{\hat \varphi} 
  + {\partial f \over \partial z}\boldsymbol{\hat z} {\partial f \over \partial r}\boldsymbol{\hat r} 
  + {1 \over r}{\partial f \over \partial \theta}\boldsymbol{\hat \theta} 
  + {1 \over r\sin\theta}{\partial f \over \partial \varphi}\boldsymbol{\hat \varphi}  \frac{1}{\sqrt{\sigma^{2} + \tau^{2}}} {\partial f \over \partial \sigma}\boldsymbol{\hat \sigma} + \frac{1}{\sqrt{\sigma^{2} + \tau^{2}}} {\partial f \over \partial \tau}\boldsymbol{\hat \tau} + {\partial f \over \partial z}\boldsymbol{\hat z}
Дивергенция \nabla \cdot \mathbf{A} {\partial A_x \over \partial x} + {\partial A_y \over \partial y} + {\partial A_z \over \partial z} {1 \over\rho}{\partial \left(\rho A_\rho \right) \over \partial \rho} 
  + {1 \over\rho}{\partial A_\varphi \over \partial \varphi} 
  + {\partial A_z \over \partial z} {1 \over r^2}{\partial \left( r^2 A_r \right) \over \partial r} 
  + {1 \over r\sin\theta}{\partial \over \partial \theta} \left(  A_\theta\sin\theta \right)  
  + {1 \over r\sin\theta}{\partial A_\varphi \over \partial \varphi}  \frac{1}{\sigma^{2} + \tau^{2}}{\partial A_\sigma \over \partial \sigma} + \frac{1}{\sigma^{2} + \tau^{2}}{\partial A_\tau \over \partial \tau} + {\partial A_z \over \partial z}
Ротор \nabla \times \mathbf{A} \begin{matrix}
  \left({\partial A_z \over \partial y} - {\partial A_y \over \partial z}\right) \mathbf{\hat x} & + \\
  \left({\partial A_x \over \partial z} - {\partial A_z \over \partial x}\right) \mathbf{\hat y} & + \\
  \left({\partial A_y \over \partial x} - {\partial A_x \over \partial y}\right) \mathbf{\hat z} & \ \end{matrix} \begin{matrix}
  \left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial A_z}{\partial \varphi}
    - \frac{\partial A_\varphi}{\partial z}\right) \boldsymbol{\hat \rho} & + \\
  \left(\frac{\partial A_\rho}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial \rho}\right) \boldsymbol{\hat \varphi} & + \\
  \frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial (\rho A_\varphi) }{\partial \rho} 
    - \frac{\partial A_\rho}{\partial \varphi}\right) \boldsymbol{\hat z} & \ \end{matrix} \begin{matrix}
  {1 \over r\sin\theta}\left({\partial \over \partial \theta} \left( A_\varphi\sin\theta \right)
    - {\partial A_\theta \over \partial \varphi}\right) \boldsymbol{\hat r} & + \\
  {1 \over r}\left({1 \over \sin\theta}{\partial A_r \over \partial \varphi} 
    - {\partial \over \partial r} \left( r A_\varphi \right) \right) \boldsymbol{\hat \theta} & + \\
  {1 \over r}\left({\partial \over \partial r} \left( r A_\theta \right)
    - {\partial A_r \over \partial \theta}\right) \boldsymbol{\hat \varphi} & \ \end{matrix} \begin{matrix}
  \left(\frac{1}{\sqrt{\sigma^{2} + \tau^{2}}}{\partial A_z \over \partial \tau}
    - {\partial A_\tau \over \partial z}\right) \boldsymbol{\hat \sigma} & - \\
  \left(\frac{1}{\sqrt{\sigma^{2} + \tau^{2}}}{\partial A_z \over \partial \sigma}- {\partial A_\sigma \over \partial z}\right) \boldsymbol{\hat \tau} & + \\
  \frac{1}{\sqrt{\sigma^{2} + \tau^{2}}}\left({\partial \left( s A_\varphi \right) \over \partial s} 
    - {\partial A_s \over \partial \varphi}\right) \boldsymbol{\hat z} & \ \end{matrix}
Оператор Лапласа \Delta f = \nabla^2 f {\partial^2 f \over \partial x^2} + {\partial^2 f \over \partial y^2} + {\partial^2 f \over \partial z^2} {1 \over\rho}{\partial \over \partial\rho}\left(\rho {\partial f \over \partial \rho}\right) 
  + {1 \over\rho^2}{\partial^2 f \over \partial \varphi^2} 
  + {\partial^2 f \over \partial z^2} {1 \over r^2}{\partial \over \partial r}\!\left(r^2 {\partial f \over \partial r}\right) 
  \!+\!{1 \over r^2\!\sin\theta}{\partial \over \partial \theta}\!\left(\sin\theta {\partial f \over \partial \theta}\right) 
  \!+\!{1 \over r^2\!\sin^2\theta}{\partial^2 f \over \partial \varphi^2}  \frac{1}{\sigma^{2} + \tau^{2}} 
\left(  \frac{\partial^{2} f}{\partial \sigma^{2}} + 
\frac{\partial^{2} f}{\partial \tau^{2}} \right) +
\frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}
Векторный оператор Лапласа \Delta \mathbf{A} = \nabla^2 \mathbf{A} \Delta A_x \mathbf{\hat x} + \Delta A_y \mathbf{\hat y} + \Delta A_z \mathbf{\hat z} \begin{matrix}
  \left(\Delta A_\rho - {A_\rho \over \rho^2} 
    - {2 \over \rho^2}{\partial A_\varphi \over \partial \varphi}\right) \boldsymbol{\hat \rho} & + \\
  \left(\Delta A_\varphi - {A_\varphi \over \rho^2} 
    + {2 \over \rho^2}{\partial A_\rho \over \partial \varphi}\right) \boldsymbol{\hat\varphi} & + \\
  \left(\Delta A_z \right) \boldsymbol{\hat z}  & \ \end{matrix} \begin{matrix}
  \left(\Delta A_r - {2 A_r \over r^2} 
    - {2 \over r^2\sin\theta}{\partial \left(A_\theta \sin\theta\right) \over \partial\theta}
    - {2 \over r^2\sin\theta}{\partial A_\varphi \over \partial \varphi}\right) \boldsymbol{\hat r} & + \\
  \left(\Delta A_\theta - {A_\theta \over r^2\sin^2\theta} 
    + {2 \over r^2}{\partial A_r \over \partial \theta} 
    - {2 \cos\theta \over r^2\sin^2\theta}{\partial A_\varphi \over \partial \varphi}\right) \boldsymbol{\hat\theta} & + \\
  \left(\Delta A_\varphi - {A_\varphi \over r^2\sin^2\theta}
    + {2 \over r^2\sin\theta}{\partial A_r \over \partial \varphi}
    + {2 \cos\theta \over r^2\sin^2\theta}{\partial A_\theta \over \partial \varphi}\right) \boldsymbol{\hat\varphi} & \end{matrix}  ?
Элемент длины d\mathbf{l} = dx\mathbf{\hat x} + dy\mathbf{\hat y} + dz\mathbf{\hat z} d\mathbf{l} = d\rho\boldsymbol{\hat\rho} + \rho d\varphi\boldsymbol{\hat\varphi} + dz\boldsymbol{\hat z} d\mathbf{l} = dr\mathbf{\hat r} + rd\theta\boldsymbol{\hat \theta} + r\sin\theta d\varphi\boldsymbol{\hat \varphi} d\mathbf{l} = \sqrt{\sigma^{2} + \tau^{2}} d\sigma\boldsymbol{\hat \sigma} + \sqrt{\sigma^{2} + \tau^{2}} d\tau\boldsymbol{\hat \tau} + dz\boldsymbol{\hat z}
Элемент ориентированной площади \begin{matrix}d\mathbf{S} = &dy\,dz\,\mathbf{\hat x} + \\ 
&dx\,dz\,\mathbf{\hat y} + \\ 
&dx\,dy\,\mathbf{\hat z}\end{matrix} \begin{matrix}
d\mathbf{S} = & \rho\, d\varphi\, dz\,\boldsymbol{\hat \rho} + \\ 
& d\rho \,dz\,\boldsymbol{\hat \varphi} + \\ 
& \rho\,d\rho d\varphi \,\mathbf{\hat z}
\end{matrix} \begin{matrix}
d\mathbf{S} = & r^2 \sin\theta \,d\theta \,d\varphi \,\mathbf{\hat r} + \\
& r\sin\theta \,dr\,d\varphi \,\boldsymbol{\hat \theta} + \\
& r\,dr\,d\theta\,\boldsymbol{\hat \varphi}
\end{matrix} \begin{matrix}
d\mathbf{S} = & \sqrt{\sigma^{2} + \tau^{2}}, d\tau\, dz\,\boldsymbol{\hat \sigma} + \\ 
& \sqrt{\sigma^{2} + \tau^{2}} d\sigma\,dz\,\boldsymbol{\hat \tau} + \\ 
& \sigma^{2} + \tau^{2} d\sigma, d\tau \,\mathbf{\hat z}
\end{matrix}
Элемент объёма d\tau = dx\,dy\,dz \, d\tau = \rho\, d\rho\, d\varphi\, dz\, d\tau = r^2\sin\theta \,dr\,d\theta\, d\varphi\, d\tau = \left( \sigma^{2} + \tau^{2} \right) d\sigma d\tau dz,

Некоторые свойства[править | править вики-текст]

Выражения для операторов второго порядка:

  1. \mathrm{div\ grad}\; f = \nabla \cdot (\nabla f) = \nabla^2 f = \Delta f (Оператор Лапласа)
  2. \mathrm{rot\ grad}\; f = \nabla \times (\nabla f) = 0
  3. \mathrm{div\ rot}\; \mathbf{A} = \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{A}) = 0
  4. \mathrm{rot\ rot}\; \mathbf{A} = \nabla \times (\nabla \times \mathbf{A}) 
                                                = \nabla (\nabla \cdot \mathbf{A}) - \nabla^2 \mathbf{A}

(используя формулу Лагранжа для двойного векторного произведения)

  1. \Delta f g = f \Delta g + 2 \nabla f \cdot \nabla g + g \Delta f

См. также[править | править вики-текст]