Функциональное уравнение Коши

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Функциональное уравнение Коши для функции  f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} имеет вид

 f(x + y) = f(x) + f(y) .

Функцию, удовлетворяющую этому уравнению, называют аддитивной. Этот термин применяется для произвольных функций, не только над \mathbb{R}.

Уравнение Коши является одним из старейших и наиболее простых функциональных уравнений, однако его решение в вещественных числах является достаточно сложным. В рациональных числах может быть доказано с использованием элементарной математики, что существует единственное семейство решений вида f(x) = cx, где c — произвольная константа. Это семейство решений является одним из решений и на множестве вещественных чисел. Дальнейшие ограничения на f могут исключать другие решения, например:

С другой стороны, если нет никаких дополнительных ограничений на f, то существует бесконечно много других функций, которые удовлетворяют уравнению. Это было доказано в 1905 году Георгом Гамелем с использованием базиса Гамеля, а значит и аксиомы выбора). Обобщение Третьей проблемы Гильберта на случай многомерных пространств использует это уравнение.

Решение в рациональных числах[править | править вики-текст]

Докажем, что за знак функции можно выносить рациональные числа. Возьмём  n \in \mathbb{N} :

 f(n x) = f(x + x + \cdots + x) = f(x) + f (x) + \cdots + f(x) = n f(x),
 f \left( \frac{x}{n} \right) = \frac{n f(x / n)}{n} = \frac{f(x)}{n} .

Теперь положим  x = y = 0 и y = -x:

 f(0) = f(0) + f(0) \Rightarrow f(0) = 0 ,
 f(0) = f(x) + f(-x) \Rightarrow f(-x) = -f(x) .

Собрав всё вместе, получим:

 \forall a \in \mathbb{Q}, x \in \mathbb{R}: f(a x) = a f(x) .

Положив x = 1 и обозначив  c = f \left( 1 \right) , мы имеем единственное семейство решений  f(x)=cx над \mathbb{Q}.

Существование других решений[править | править вики-текст]

Доказательство существования нелинейных решений не конструктивно и основано на аксиоме выбора. С её помощью доказывается существование базиса Гамеля в любом векторном пространстве, в том числе бесконечномерном.

Рассмотрим \mathbb{R} как векторное пространство над полем \mathbb{Q}: в нём есть базис Гамеля. Возьмём коэффициент перед некоторым базисным вектором \alpha в разложении числа x по базису — это и будет значение f (x). Полученная функция принимает рациональные значения (как коэффициент при разложении над \mathbb{Q}) и не равна тождественно нулю ( f (\alpha) = 1 ), а потому не может быть линейна. Нетрудно понять, что она аддитивна, то есть удовлетворяет уравнению Коши.

Свойства других решений[править | править вики-текст]

Сейчас мы докажем, что всякое нелинейное решение должно быть достаточно необычной функцией — его график y = f(x) должен быть всюду плотен в \mathbb{R}^2. Это означает, что любой, сколь угодно малый круг на плоскости содержит по крайней мере одну точку этого графика. Из этого легко выводятся другие свойства, такие как разрывность в любой точке, немонотонность и неограниченность на любом интервале.

Мы можем, поделив функцию на  c = f (1) , считать, что  \forall a \in \mathbb{Q}: f(a) = a . Если функция  f(x) не линейна, то f(\alpha) \neq \alpha для некоторого \alpha \in \mathbb{R}: положим  f(\alpha) = \alpha + \delta, \delta \neq 0. Покажем теперь, как найти точку графика в произвольном круге с центром в точке  (x, y) , радиуса r, где  x, y, r \in \mathbb{Q}, r > 0, x \neq y . Ясно, что этого достаточно для всюду плотности.

Положим \beta = \frac{y - x}{\delta} и выберем рациональное число b \neq 0, близкое к \beta, таким образом, чтобы:

\left|  \beta - b  \right| < \frac{r}{3 \left|\delta\right|}

Затем выберем рациональное число a, близкое к \alpha, так, чтобы:

\left| \alpha - a  \right| < \frac{r}{3\left|b\right|}

Теперь возьмем  X = x + b (\alpha - a) и, используя функциональное уравнение, получим:

 Y = f(X) = f(x + b (\alpha - a))
 = x + b f(\alpha) - b f(a)
 = y - \delta \beta + b f(\alpha) - b f(a)
 = y - \delta \beta + b (\alpha + \delta) - b a
 = y + b (\alpha - a) - \delta (\beta - b)

Но тогда  (Y - y) ^ 2 + (X - x) ^ 2 = (b (\alpha - a) - \delta (\beta - b))^2 + (b (\alpha - a))^2 \leqslant \left( \frac{r}{3} + \frac{r}{3} \right) ^ 2 + \left( \frac{r}{3} \right) ^ 2 < r ^ 2, то есть точка  (X, Y) оказалась внутри круга.

Литература[править | править вики-текст]