Функциональное уравнение Коши

Функциональное уравнение Коши для функции $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ имеет вид

$f(x+y)=f(x)+f(y)$.

Функцию, удовлетворяющую этому уравнению, называют аддитивной. Этот термин применяется для произвольных функций, не только для вещественных.

Уравнение Коши является одним из старейших и наиболее простых функциональных уравнений, однако его решение в вещественных числах является достаточно сложным. В рациональных числах может быть доказано с использованием элементарной математики, что существует единственное семейство решений вида $f(x)=cx$, где c — произвольная константа. Это семейство решений является одним из решений и на множестве вещественных чисел. Дополнительные ограничения, накладываемые на $f$, могут исключать возможность существования других решений. Например, линейные функции $f(x)=cx$ оказываются единственно возможными решениями, если:

• $f$ непрерывна (доказано Коши в 1821 году). Это условие было ослаблено в 1875 году Дарбу, который показал, что непрерывность функции необходима только в одной точке.
• $f$ монотонна на некотором интервале.
• $f$ ограничена сверху либо снизу на некотором интервале (частный случай: $f$ сохраняет знак на некотором интервале).
• для некоторого интервала значений аргумента существует ненулевой интервал значений, которые функция $f$ не принимает на этом интервале (более общий вариант предыдущего случая).
• $f$ интегрируема (в частности, по Лебегу) на некотором интервале.
• $f$ измерима на некотором интервале.

С другой стороны, если нет никаких дополнительных ограничений на $f$, то существует бесконечно много других функций, которые удовлетворяют уравнению (см. статью "Базис Гамеля"). Это было доказано в 1905 году Георгом Гамелем с использованием базиса Гамеля, а значит и аксиомы выбора. Обобщение Третьей проблемы Гильберта на случай многомерных пространств использует это уравнение.

Другие формы функционального уравнения Коши

Следующие функциональные уравнения эквивалентны аддитивному уравнению Коши $f\left(x+y\right)=f\left(x\right)+f\left(y\right)$:

• логарифмическое уравнение Коши $f\left(xy\right)=f\left(x\right)+f\left(y\right)$ (одно из семейств решений имеет вид $f\left(x\right)=c\ln \left|x\right|=\log _{a}\left|x\right|$).
• степенное уравнение Коши $f\left(xy\right)=f\left(x\right)f\left(y\right)$ (одно из семейств решений имеет вид $f\left(x\right)=\left|x\right|^{a}$).
• экспоненциальное уравнение Коши $f\left(x+y\right)=f\left(x\right)f\left(y\right)$ (одно из семейств решений имеет вид $f\left(x\right)=\exp \left(cx\right)=a^{x}$).

Вырожденным решением этих уравнений является функция $f\left(x\right)=0$.

Решение в рациональных числах

Докажем, что за знак функции можно выносить рациональные числа. Возьмём $n\in \mathbb {N}$:

$f(nx)=f(x+x+\cdots +x)=f(x)+f(x)+\cdots +f(x)=nf(x)$,

$f\left({\frac {x}{n}}\right)={\frac {nf(x/n)}{n}}={\frac {f(x)}{n}}$.

Теперь положим $x=y=0$ и $y=-x$:

$f(0)=f(0)+f(0)\Rightarrow f(0)=0$,

$f(0)=f(x)+f(-x)\Rightarrow f(-x)=-f(x)$.

Собрав всё вместе, получим:

$\forall a\in \mathbb {Q} ,x\in \mathbb {R} :f(ax)=af(x)$.

Положив $x=1$ и обозначив $c=f\left(1\right)$, мы имеем единственное семейство решений $f(x)=cx$ над $\mathbb {Q}$.

Существование нелинейных решений

Доказательство существования нелинейных решений не конструктивно и основано на аксиоме выбора. С её помощью доказывается существование базиса Гамеля в любом векторном пространстве, в том числе бесконечномерном.

Рассмотрим $\mathbb {R}$ как векторное пространство над полем $\mathbb {Q}$: в нём есть базис Гамеля. Возьмём коэффициент перед некоторым базисным вектором $\alpha$ в разложении числа $x$ по базису — это и будет значение $f(x)$. Полученная функция принимает рациональные значения (как коэффициент при разложении над $\mathbb {Q}$) и не равна тождественно нулю ($f(\alpha )=1$), а потому не может быть линейна. Нетрудно понять, что она аддитивна, то есть удовлетворяет уравнению Коши.

В общем случае пусть $\{r_{\alpha }\}$ — базис Гамеля множества действительных чисел $\mathbb {R}$ над полем рациональных чисел $\mathbb {Q}$. Тогда для каждого вещественного $x$ существует разложение по базису Гамеля $x=k_{\alpha _{1}}r_{\alpha _{1}}+\cdots +k_{\alpha _{n}}r_{\alpha _{n}}$ (где $k_{i}\in \mathbb {Q}$), причём такое разложение единственно с точностью до порядка членов разложения и членов с нулевыми множителями. Для аддитивной функции $f(x)$ должно быть выполнено условие $f(x)=k_{\alpha _{1}}f_{\alpha _{1}}+\cdots +k_{\alpha _{n}}f_{\alpha _{n}}$, где $f_{\alpha _{n}}=f(r_{\alpha _{n}})$ будут фиксированными вещественными числами (за знак аддитивной функции можно выносить рациональные множители, см. предыдущий раздел). Очевидно, что функция $f(x)$, заданная с помощью этого соотношения, при любом выборе вспомогательных чисел $f_{\alpha _{n}}$ удовлетворяет аддитивному уравнению Коши $f(x+y)=f(x)+f(y)$. Однако только в том случае, когда $f_{\alpha _{n}}\equiv c\cdot r_{\alpha _{n}}$, где $c$ это произвольное вещественное число, рассматриваемая функция оказывается линейной функцией.

Свойства нелинейных решений

Сейчас мы докажем, что всякое нелинейное решение должно быть достаточно необычной функцией — его график $y=f(x)$ должен быть всюду плотен в $\mathbb {R} ^{2}$. Это означает, что любой, сколь угодно малый круг на плоскости содержит по крайней мере одну точку этого графика. Из этого легко выводятся другие свойства, такие как разрывность в любой точке, немонотонность и неограниченность на любом интервале.

Мы можем, поделив функцию на $c=f(1)$, считать, что $\forall a\in \mathbb {Q} :f(a)=a$. (Если $f(1)=0$, то $\forall a\in \mathbb {Q} :f(a)=0$, и рассуждения, приводимые ниже, сохраняют свою силу с минимальными изменениями, если предположить, что найдётся точка $\alpha \in \mathbb {R}$, для которой $f(\alpha )\neq 0$.) Если функция $f(x)$ не линейна, то $f(\alpha )\neq \alpha$ для некоторого $\alpha \in \mathbb {R}$: положим $f(\alpha )=\alpha +\delta ,\delta \neq 0$. Покажем теперь, как найти точку графика в произвольном круге с центром в точке $(x,y)$, радиуса $r$, где $x,y,r\in \mathbb {Q} ,r>0,x\neq y$. Ясно, что этого достаточно для плотности графика $y=f(x)$ всюду в $\mathbb {R} ^{2}$.

Положим $\beta ={\frac {y-x}{\delta }}$ и выберем рациональное число $b\neq 0$, близкое к $\beta$, таким образом, чтобы:

$\left|\beta -b\right|<{\frac {r}{3\left|\delta \right|}}$

Затем выберем рациональное число $a$, близкое к $\alpha$, так, чтобы:

$\left|\alpha -a\right|<{\frac {r}{3\left|b\right|}}$

Теперь возьмем $X=x+b(\alpha -a)$ и, используя функциональное уравнение, получим:

$Y=f(X)=f(x+b(\alpha -a))$

$=x+bf(\alpha )-bf(a)$

$=y-\delta \beta +bf(\alpha )-bf(a)$

$=y-\delta \beta +b(\alpha +\delta )-ba$

$=y+b(\alpha -a)-\delta (\beta -b)$

Но тогда $(Y-y)^{2}+(X-x)^{2}=(b(\alpha -a)-\delta (\beta -b))^{2}+(b(\alpha -a))^{2}\leqslant \left({\frac {r}{3}}+{\frac {r}{3}}\right)^{2}+\left({\frac {r}{3}}\right)^{2}<r^{2}$, то есть точка $(X,Y)$ оказалась внутри круга.

Также можно показать, что когда аддитивная функция $f(x)$ не является линейной, она будет разрывной в любой точке вещественной оси, а также не сохраняет знак, не ограничена ни сверху, ни снизу, не монотонна, не интегрируема и не измерима на любом сколь угодно малом интервале, заполняя, в соответствии с доказанным выше утверждением о плотности графика $y=f(x)$ всюду на плоскости $\mathbb {R} ^{2}$, на любом сколь угодно малом интервале своими значениями всю числовую ось $\left(-\infty ,+\infty \right)$ плотным образом.

Литература

• Н. К. Верещагин, А. Шень. Начала теории множеств. — С. 82. — (Лекции по математической логике и теории алгоритмов).
• Решение функционального уравнения Коши — Rutgers University (англ.)