Функциональное уравнение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Функциональное уравнение — уравнение, выражающее связь между значением функции в одной точке с её значениями в других точках. Многие свойства функций можно определить, исследуя функциональные уравнения, которым эти функции удовлетворяют. Термин «функциональное уравнение» обычно используется для уравнений, несводимых простыми способами к алгебраическим уравнениям. Эта несводимость чаще всего обусловлена тем, что аргументами неизвестной функции в уравнении являются не сами независимые переменные, а некоторые данные функции от них.

Примеры[править | править вики-текст]

Функциональному уравнению:

f(s) = 2^s\pi^{s-1}\sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)\Gamma(1-s)f(1-s),

где \Gamma(z) — гамма-функция Эйлера, удовлетворяет дзета-функция Римана \zeta.

Гамма-функция является единственным решением этой системы трёх уравнений:

f(x)={f(x+1) \over x}\,\!
f(y)f\left(y+\frac{1}{2}\right)=\frac{\sqrt{\pi}}{2^{2y-1}}f(2y)
f(z)f(1-z)={\pi \over \sin(\pi z)}\,\!\,\,\, (формула дополнения Эйлера)

Функциональное уравнение:

f\left({az+b\over cz+d}\right) = (cz+d)^k f(z),

где a, b, c, d являются целыми числами, удовлетворяющими равенству ad - bc = 1, то есть:

\begin{vmatrix} a & b\\c & d\end{vmatrix}\,=1,

определяет f как модулярную форму порядка k.

Уравнения Коши:

Другие:

  • f(x + y) + f(x - y) = 2[f(x) + f(y)] — квадратичное уравнение или правило параллелограмма[en], удовлетворяет  f(x)=kx^2 ,
  • f\left(\frac{x + y}{2}\right) = \frac{f(x) + f(y)}{2} — уравнение Йенсена, удовлетворяют все линейные функции, и его версия
  • f(x+y)f(x-y)=f(x)^2 — уравнение Лобачевского, решение —  f(x)=ac^x ,

Простым видом функциональных уравнений является рекуррентное соотношение. Говоря формально, оно содержит неизвестную функцию от целых чисел и оператор сдвига. Пример рекуррентного соотношения:

a(n) = 3a(n-1) + 4a(n-2)\,\!

Решение функциональных уравнений[править | править вики-текст]

Существуют некоторые общие методы решения функциональных уравнений.

В частности, полезным может оказаться применении понятия об инволюции, то есть, использование свойств функций, для которых f(f(x)) = x; простейшие инволюции:

f(x) = -x,  f(x) = \frac{1}{x} ,  f(x) = \frac{1}{1-x} + 1, f(x) = 1-x .

Например, для решения уравнения:

f^2(x+y) = f^2(x) + f^2(y)

для всех x,y \in \R и f: \R \to R, положим x=y=0: f^2(0)=f^2(0)+f^2(0). Тогда f^2(0)=0 и f(0)=0. Далее, положив y=-x:

f^2(x-x)=f^2(x)+f^2(-x)\,
f^2(0)=f^2(x)+f^2(-x)\,
0=f^2(x)+f^2(-x)\,

Квадрат вещественного числа неотрицателен, и сумма неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда когда оба числа равны 0. Значит f^2(x)=0 для всех x и f(x)\equiv0 является единственным решением этого уравнения.

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Головинский И. А. Ранняя история аналитических итераций и функциональных уравнений. // Историко-математические исследования. М.: Наука, вып. XXV, 1980, с. 25-51.
  • Kuczma M. On the functional equation φn(x) = g(x). Ann. Polon. Math. 11 (1961) 161—175.
  • Kuczma M. An introduction to the theory of functional equations and inequalities. Warszawa — Kraków — Katowice: Polish Scientific Publishers & Silesian University, 1985.
  • Лихтарников Л. М. Элементарное введение в функциональные уравнения. СПб.: Лань, 1997.

Ссылки[править | править вики-текст]