Обратное число

Обра́тное число́ (обратное значение, обратная величина) — это число, на которое надо умножить данное число, чтобы получить единицу. Два числа, произведение которых равно единице, называются взаимно обратными.

Обратное к действительному числу

Для любого действительного (или комплексного) числа, отличного от нуля, существует число, обратное ему. Обратное к действительному числу можно подать в виде дроби или степени с показателем -1. Но, как правило, используется запись через дробь.

Число	Обратное
	Дробь	Степень
$n$	$\frac{1}{n}$	$n^{-1}$

Примеры
Число	$3$	$\frac{1}{10}$	$-\frac{2}{7}$	$2\pi$	$2$	$-0,125$	$1$	$\sqrt{3}$	$e^{\frac{\pi}{4}}$	$10^{23}$
Обратное	$\frac{1}{3}$	$10$	$-\frac{7}{2}$	$\frac{1}{2\pi}$	$0,5$	$-8$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$e^{-\frac{\pi}{4}}$	$10^{-23}$

Не стоит путать термины «обратное число» и «противоположное число». Два числа называются противоположными, если их сумма равна нулю. Например, число, противоположное к 3, это -3, а обратное 1/3.

Обратное к нулю

В арифметике, которая оперирует действительными (или комплексными) числами, нет понятия бесконечности (нет числа «бесконечность»). Поэтому в ней считается, что на ноль делить нельзя. Таким образом, ноль не имеет обратного числа. Но, с момента ввода предельного перехода (в математическом анализе), появились такие понятия как бесконечно малая и бесконечно большая величины, которые являются взаимно обратными.
Используя предельный переход, получаем: $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x}=\left( \frac{1}{0} \right)=\infty$ _ или _ $\left ( \frac{1}{x} \right ) \xrightarrow[x \xrightarrow{} 0]{} \infty$.
Таким образом, обратной величиной для нуля формально является бесконечность.

Обратное к комплексному числу

Числа, обратные к комплексным, выглядят несколько сложнее нежели обратные к действительным. Существует три формы комплексного числа: алгебраическая, тригонометрическая и показательная.

Формы комплексного числа	Число $(z)$	Обратное $\left ( \frac{1}{z} \right)$
Алгебраическая	$x+iy$	$\frac{x}{x^2+y^2}-i \frac{y}{x^2+y^2}$
Тригонометрическая	$r(\cos\varphi+i \sin\varphi)$	$\frac{1}{r}(\cos\varphi-i \sin\varphi)$
Показательная	$re^{i \varphi}$	$\frac{1}{r}e^{-i \varphi}$

__________Обозначение и доказательство__________ __________Обозначение__________ $z \in \mathbb{C}$ (комплексное число), $x = \operatorname{Re}(z) \in \mathbb{R}$ (действительная часть комплексного числа), $y = \operatorname{Im}(z) \in \mathbb{R}$ (мнимая часть комплексного числа), $i$ — мнимая единица, $r=|z|=\sqrt{x^2+y^2}$ (модуль комплексного числа), $\varphi=\operatorname{arg}z= \operatorname{arctg}\frac{y}{x}$ (аргумент комплексного числа), $e$ - основа натурального логарифма. Доказательство: Для алгебраической и тригонометрической форм используем основное свойство дроби, умножая числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное: Алгебраическая форма: $\frac{1}{z}= \frac{1}{x+iy}= \frac{x-iy}{(x+iy)(x-iy)}= \frac{x-iy}{x^2+y^2}= \frac{x}{x^2+y^2}-i \frac{y}{x^2+y^2}$ Тригонометрическая форма: $\frac{1}{z} = \frac{1}{r(\cos\varphi+i \sin\varphi)} = \frac{1}{r} \frac{\cos\varphi-i \sin\varphi}{(\cos\varphi+i \sin\varphi)(\cos\varphi-i \sin\varphi)} = \frac{1}{r} \frac{\cos\varphi-i \sin\varphi}{\cos^2\varphi+ \sin^2\varphi} = \frac{1}{r}(\cos\varphi-i \sin\varphi)$ Показательная форма: $\frac{1}{z} = \frac{1}{re^{i \varphi}} = \frac{1}{r}e^{-i \varphi}$

Таким образом, при нахождении обратного к комплексному числу, удобнее пользоваться его показательной формой.

Пример:

Формы комплексного числа	Число $(z)$	Обратное $\left ( \frac{1}{z} \right )$
Алгебраическая	$1+i \sqrt{3}$	$\frac{1}{4}- \frac{\sqrt{3}}{4}i$
Тригонометрическая	$2 \left ( \cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3} \right )$ или $2 \left ( \frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2} \right )$	$\frac{1}{2} \left ( \cos\frac{\pi}{3}-i\sin\frac{\pi}{3} \right )$ или $\frac{1}{2} \left ( \frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2} \right )$
Показательная	$2 e^{i \frac{\pi}{3}}$	$\frac{1}{2} e^{-i \frac{\pi}{3}}$

Обратное к мнимой единице

Существует лишь два числа (комплексно-сопряженные), обратное и противоположное числа к которым равны. Это $\pm i$.

Число	Равенство обратного и противоположного
	Запись обратного через дробь	Запись обратного через степень
$i$	$\frac{1}{i}=-i$	$i^{-1}=-i$
$-i$	$- \frac{1}{i}=i$	$-i^{-1}=i$

__________Доказательство__________ Продемонстрируем доказательство для $i$ (для $-i$ аналогично). Используем основное свойство дроби: $\frac{1}{i}=\frac{1 \cdot i}{i \cdot i}=\frac{i}{i^2}=\frac{i}{-1}=-i$ Таким образом, получаем $\frac{1}{i}=-i$__или__$i^{-1}=-i$ Аналогично для $-i$: __ $- \frac{1}{i}=i$ __ или __ $-i^{-1}=i$

См. также

• Обратный элемент
• Обратная матрица
• Деление
• Дробь
• Противоположное число