Обратное число

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Обра́тное число́ (обратное значение, обратная величина) к данному числу x — это число, умножение которого на x, даёт единицу. Принятая запись: \frac{1}x или x^{-1}. Два числа, произведение которых равно единице, называются взаимно обратными. Обратное число не следует путать с обратной функцией. Например, \frac{1}{\cos{x}} отличается от обратной функции косинуса — арккосинуса, который обозначается \cos^{-1}x или \arccos x.

Обратное к действительному числу[править | править вики-текст]

Для любого действительного (или комплексного) числа, отличного от нуля, существует число, обратное ему. Обратное к действительному числу можно подать в виде дроби или степени с показателем -1. Но, как правило, используется запись через дробь.

Число Обратное
Дробь Степень
n \frac{1}{n} n^{-1}

То есть \ \frac{1}{n} = n^{-1}.

Примеры
Число   3     \frac{1}{10}     -\frac{2}{7}   2\pi   2   -0,125   1     \sqrt{3}     e^{\frac{\pi}{4}}     10^{23}
Обратное   \frac{1}{3}     10     -\frac{7}{2}     \frac{1}{2\pi}   0,5 -8   1     \frac{\sqrt{3}}{3}     e^{-\frac{\pi}{4}}     10^{-23}  

Не стоит путать термины «обратное число» и «противоположное число». Два числа называются противоположными, если их сумма равна нулю. Например, число, противоположное к 3, это -3, а обратное 1/3.

Обратное к нулю[править | править вики-текст]

В арифметике, которая оперирует действительными (или комплексными) числами, нет понятия бесконечности (нет числа «бесконечность»). Поэтому в ней считается, что на ноль делить нельзя. Таким образом, ноль не имеет обратного числа. Но, с момента ввода предельного переходаматематическом анализе), появились такие понятия как бесконечно малая и бесконечно большая величины, которые являются взаимно обратными.

Используя предельный переход, получаем:

  • Правый предел: \lim_{x \to 0+0} \frac{1}{x}=\left( \frac{1}{0} \right)=+\infty _ или _ \left ( \frac{1}{x} \right ) \xrightarrow[x \xrightarrow{} 0+0]{} +\infty
  • Левый предел: \lim_{x \to 0-0} \frac{1}{x}=\left( \frac{1}{0} \right)=-\infty _ или _ \left ( \frac{1}{x} \right ) \xrightarrow[x \xrightarrow{} 0-0]{} -\infty

Таким образом, обратной величиной для нуля, в зависимости от того с какой стороны к нему стремиться, формально является бесконечность со знаком «+» или «-».

Обратное к комплексному числу[править | править вики-текст]

Числа, обратные к комплексным, выглядят несколько сложнее нежели обратные к действительным. Существует три формы комплексного числа: алгебраическая, тригонометрическая и показательная.

Формы комплексного числа Число (z) Обратное \left ( \frac{1}{z} \right) [1]
Алгебраическая x+iy \frac{x}{x^2+y^2}-i \frac{y}{x^2+y^2}
Тригонометрическая r(\cos\varphi+i \sin\varphi) \frac{1}{r}(\cos\varphi-i \sin\varphi)
Показательная re^{i \varphi} \frac{1}{r}e^{-i \varphi}

Таким образом, при нахождении обратного к комплексному числу, удобнее пользоваться его показательной формой.

Пример:

Формы комплексного числа Число (z) Обратное \left ( \frac{1}{z} \right ) [1]
Алгебраическая 1+i \sqrt{3} \frac{1}{4}- \frac{\sqrt{3}}{4}i
Тригонометрическая 2 \left ( \cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3} \right )

или
2 \left ( \frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2} \right ) [2]

\frac{1}{2} \left ( \cos\frac{\pi}{3}-i\sin\frac{\pi}{3} \right )

или
\frac{1}{2} \left ( \frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2} \right ) [2]

Показательная 2 e^{i \frac{\pi}{3}} \frac{1}{2} e^{-i \frac{\pi}{3}}

Обратное к мнимой единице[править | править вики-текст]

Существует лишь два числа (комплексно-сопряженные), обратное и противоположное числа к которым равны. Это \pm i.

Число Равенство обратного и противоположного
Запись обратного через дробь Запись обратного через степень
i \frac{1}{i}=-i i^{-1}=-i
-i - \frac{1}{i}=i -i^{-1}=i

Примечания[править | править вики-текст]

  1. 1 2 Обратное \left ( \frac{1}{z} \right ) к комплексному числу (z) записывается в такой же форме, как и это число (z).
  2. 1 2 Запись комплексного числа в тригонометрической форме с использованием конкретного значения косинуса и синуса аргумента: \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}, \ \ \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}

См. также[править | править вики-текст]