Эффективная масса

В физике твёрдого тела, эффективной массой частицы называется динамическая масса, которая появляется при движении частицы в периодическом потенциале кристалла. Можно показать, что электроны и дырки в кристалле реагируют на электрическое поле так, как если бы они свободно двигались в вакууме, но с некой эффективной массой, которую обычно определяют в единицах массы покоя электрона m_e (9.11×10⁻³¹ кг). Она отлична от массы покоя электрона.

Определение

Эффективная масса определяется из аналогии со вторым законом Ньютона $\vec{F}=m\vec{a}$. С помощью квантовой механики можно показать, что для электрона во внешнем электрическом поле E:

$\vec{a} = {{q} \over {\hbar^2}} \cdot {{d^2 \varepsilon} \over {d k^2}} \vec{E}$

где a — ускорение, $\hbar$ — постоянная Планка, k — волновой вектор, который определяется из импульса как k = $p/\hbar$, $\epsilon(k)$ — закон дисперсии, который связывает энергию с волновым вектором k. В присутствии электрического поля на электрон действует сила $\vec{F}=q\vec{E}$, где заряд обозначен q. Отсюда можно получить выражение для эффективной массы m ^* :

$m^{*} = \hbar^2 \cdot \left[ {{d^2 \varepsilon} \over {d k^2}} \right]^{-1}$

Для свободной частицы закон дисперсии квадратичен, и таким образом эффективная масса является постоянной и равной массе покоя. В кристалле ситуация более сложна и закон дисперсии отличается от квадратичного. В этом случае только в экстремумах кривой закона дисперсии, там где можно аппроксимировать параболой можно использовать понятие массы.

Эффективная масса зависит от направления в кристалле и является в общем случае тензором.

Те́нзор эффекти́вной ма́ссы — термин физики твёрдого тела, характеризующий сложную природу эффективной массы квазичастицы (электрона, дырки) в твёрдом теле. Тензорная природа эффективной массы иллюстрирует тот факт, что в кристаллической решётке электрон движется не как частица с массой покоя, а как квазичастица, у которой масса зависит от направления движения относительно кристаллографических осей кристалла. Эффективная масса вводится, когда имеется параболический закон дисперсии, иначе масса начинает зависеть от энергии. В связи с этим возможна отрицательная эффективная масса.

По определению эффективную массу находят из закона дисперсии $\! \varepsilon=\varepsilon(\overrightarrow{k})$

$m_{ij}^{-1}=\frac{1}{\hbar^2k}\frac{\partial\varepsilon}{\partial k}\delta_{ij}+\frac{1}{\hbar^2}\left(\frac{\partial^2\varepsilon}{\partial k^2}-\frac{1}{k}\frac{\partial\varepsilon}{\partial k}\right)\frac{k_ik_j}{k^2}, \qquad ( 1 )$

где $\! \overrightarrow{k}$ — волновой вектор, $\! \delta_{ij}$ — символ Кронекера, $\! \hbar$ — постоянная Планка.

Эффективная масса для некоторых полупроводников

Материал	Эффективная масса электронов	Эффективная масса дырок
	Группа IV
Si (4.2K)	1.08 me	0.56 me
Ge	0.55 me	0.37 me
	III-V
GaAs	0.067 me	0.45 me
InSb	0.013 me	0.6 me
	II-VI
ZnSe	0.17me	1.44 me
ZnO	0.19 me	1.44 me

Источники:
S.Z. Sze, Physics of Semiconductor Devices, ISBN 0-471-05661-8.
W.A. Harrison, Electronic Structure and the Properties of Solids, ISBN 0-486-66021-4.
На этом сайте приводится температурная зависимость эффективной массы для кремния.

Экспериментальное определение

Традиционно эффективные массы носителей измерялись методом циклотронного резонанса, в котором измеряется поглощение полупроводника в микроволновом диапазоне спектра в зависимости от магнитного поля. Когда микроволновая частота равняется циклотронной частоте $\omega_c = \frac {eB} {m^*c}$, в спектре наблюдается острый пик. В последние годы эффективные массы более обычно определялись из измерения зонной структуры с использованием методов, наподобие фотоэмиссии с угловым разрешением (ARPES) или более прямым методом: эффект де Гааза-ван Альфена.

Эффективные массы могут также быть оценены, используя коэффициент γ из линейного слагаемого низкотемпературного электронного вклада в теплоёмкость при постоянном объёме c_v. Теплоёмкость зависит от эффективной массы через плотность состояний на уровне Ферми.

Важность

Как показывает таблица, полупроводниковые соединения A^IIIB^V, такие как GaAs и InSb, имеют намного меньшие эффективные массы, чем полупроводники из четвёртой группы периодической системы — кремний и германий. В самой простой теории электронного транспорта Друде дрейфовая скорость носителей обратно пропорциональна эффективной массе: $\vec{v} = \begin{Vmatrix}\mu\end{Vmatrix} \cdot \vec{E}$, где $\begin{Vmatrix}\mu\end{Vmatrix} = \frac{e \tau}{\begin{Vmatrix}m^*\end{Vmatrix}}$ и e — заряд электрона. Быстродействие интегральных микросхем зависит от скорости носителей, и, таким образом, малая эффективная масса — одна из причин того, что GaAs и другие полупроводники группы A^IIIB^V используются вместо кремния в приложениях, где требуется широкая полоса пропускания.

Ссылки

• NSM archive
• Pastori Parravicini, G. Electronic States and Optical Transitions in Solids — Pergamon Press, 1975. — ISBN ISBN 0-08-016846-9. Книга содержит исчерпывающее, но доступное обсуждение темы с обширным сравнением между теорией и экспериментом.