Туннельный эффект

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
 Просмотр этого шаблона  Квантовая механика
\Delta x\cdot\Delta p_x \geqslant \frac{\hbar}{2}
Принцип неопределённости
Введение
Математические основы
См. также: Портал:Физика

Тунне́льный эффект, туннели́рование — преодоление микрочастицей потенциального барьера в случае, когда её полная энергия (остающаяся при туннелировании неизменной) меньше высоты барьера. Туннельный эффект — явление исключительно квантовой природы, невозможное в классической механике и даже полностью противоречащее ей. Аналогом туннельного эффекта в волновой оптике может служить проникновение световой волны внутрь отражающей среды (на расстояния порядка длины световой волны) в условиях, когда, с точки зрения геометрической оптики, происходит полное внутреннее отражение. Явление туннелирования лежит в основе многих важных процессов в атомной и молекулярной физике, в физике атомного ядра, твёрдого тела и т. д.

Отражение и туннелирование электронного пучка, направленного на потенциальный барьер. Слабое пятно справа от барьера — электроны, прошедшие сквозь барьер. Обратите внимание на интерференцию между падающими и отражающимися волнами.

Краткое квантовомеханическое описание[править | править вики-текст]

Согласно классической механике, частица может находиться лишь в тех точках пространства, в которых её потенциальная энергия — Upot, меньше полной. Это следует из того обстоятельства, что кинетическая энергия частицы ~{E_k}={\frac{p^2}{2m}}={E}-{U_{\rm{pot}}} не может (в классич. физике) быть отрицательной, так как в таком случае импульс будет мнимой величиной. То есть, если две области пространства разделены потенциальным барьером, таким, что ~{U_{\rm{pot}}}>{E}, просачивание частицы сквозь него в рамках классической теории оказывается невозможным. В квантовой же механике мнимое значение импульса частицы соответствует экспоненциальной зависимости волновой функции от её координаты. Это показывает уравнение Шрёдингера с постоянным потенциалом:

~{\frac{{{\rm{d}}^2}{\psi}}{{{\rm{d}}{x}}^2}}+{\frac{2m}{{\hbar}^2}}{ \left( {E}-{U_{\rm{pot}}} \right)}{\psi}=0


(упрощенное уравнение Шрёдингера в одномерном случае)
где ~x~- координата; ~E~- полная энергия, ~U_{\rm{pot}}~- потенциальная энергия, ~{\hbar~-} редуцированная постоянная Планка, ~m~- масса частицы).

Если E>{U_{\rm{pot}}}, то решением этого уравнения является функция:
~{\psi}=A \exp{ \left( ix{\frac{\sqrt{2m{ \left( {E}-{U_{\rm{pot}}} \right)}}}{\hbar}} \right)+B \exp \left( -ix{\frac{\sqrt{2m{ \left( {E}-{U_{\rm{pot}}} \right)}}}{\hbar}} \right)}

Пусть имеется движущаяся частица, на пути которой встречается потенциальный барьер высотой ~U_0>>E, а потенциал частицы до и после барьера ~U_f<E. Пусть также начало барьера совпадает с началом координат, а его «ширина» равна ~a.

Для областей ~I (до прохождения), ~II (во время прохождения внутри потенциального барьера) и ~III (после прохождения барьера).получаются соответственно функции:

~{{\psi}_{I}}={A_1} \exp{ \left( ikx \right) }+{B_1} \exp{ \left( -ikx \right) }

~{{\psi}_{II}}={A_2} \exp{ \left( -{\chi}x \right) }+{B_2} \exp{ \left( {\chi}x \right)}

~{{\psi}_{III}}={A_3} \exp{ \left( ik(x-a) \right) }+{B_3} \exp{ \left( -ik(x-a) \right) }

где k=\sqrt{\frac{2m}{\hbar^2}{ \left( {E}-{U_{f}} \right)}}, \chi=\sqrt{\frac{2m}{\hbar^2}{ \left({U_{0}-E} \right)}}

Так как слагаемое ~{B_3} \exp{ \left( -ik(x-a) \right) } характеризует отраженную волну, идущую из бесконечности, которая в данном случае отсутствует, нужно положить ~{B_3}=0. Для характеристики величины туннельного эффекта вводится коэффициент прозрачности барьера, равный модулю отношения плотности потока прошедших частиц к плотности потока упавших:

~D={\frac{{j_{III}}}{{j_{I}}}}

Для определения потока частиц используется следующая формула:

~{j}={\frac{i{\hbar}}{2m}}{ \left( {\frac{{\partial}{{\psi}^*}}{{\partial}x}}{\psi}-{\frac{{\partial}{\psi}}{{\partial}x}}{{\psi}^*} \right)}

где знак * обозначает комплексное сопряжение.

Подставляя в эту формулу волновые функции, указанные выше, получим

~{D}={\frac{|{A_3}|^2}{|{A_1}|^2}}

Теперь, воспользовавшись граничными условиями, выразим сначала ~A_2 и ~B_2 через ~A_3 (с учетом, что ~{\chi}a~{\gg}~1):

~{A_2}={\frac{1-in}{2}}{A_3}{\exp{ \left( {\chi}a \right) }}~,~~~~~~{B_2}={\frac{1+in}{2}}{A_3}{\exp{ \left( -{\chi}a \right) }}~{\approx}~0

~n={\frac{k}{\chi}}={\sqrt{\frac{E-U_f}{{U_0}-E}}}

а затем ~A_1 через ~A_3:

~{A_1}={i\frac{{ \left( 1-in \right)^2 }}{4n}}{\exp{ \left( {\chi}a \right) }}{A_3}

Введем величину

~{D_0}={\frac{16{n^2}}{{ \left( 1+{n^2} \right) }^2}}=16\frac{(U_0-E)(E-U_f)}{(U_0-U_f)^2}

которая будет порядка единицы. Тогда:

~D~{\cong}~{D_0}{\exp{ \left( -{\frac{2a{\sqrt{2m{ \left( {U_0}-E \right) }}}}{\hbar}} \right) }}

Для потенциального барьера произвольной формы делаем замену

~{\frac{2a{\sqrt{2m{ \left( {U_0}-E \right) }}}}{\hbar}}~{\Rrightarrow}~{\frac{2}{\hbar}}{\int\limits_{x_1}^{x_2} {{\sqrt{2m{ \left( {U(x)}-E \right) }}}}\, {\rm{d}}x}

где ~x_1 и ~x_2 находятся из условия

~{U(x_1)}={U(x_2)}=E

Тогда для коэффициента прохождения через барьер получаем выражение

~D~{\cong}~{D_0}{\exp{ \left( -{\frac{2}{\hbar}}{\int\limits_{x_1}^{x_2} {{\sqrt{2m{ \left( {U(x)}-E \right) }}}}\, {\rm{d}}x} \right) }}

Упрощённое объяснение[править | править вики-текст]

Туннельный эффект можно объяснить соотношением неопределённостей.[1] Записанное в виде:

 \Delta x \Delta p \geqslant \frac{\hbar}{2} ,

оно показывает, что при ограничении квантовой частицы по координате, то есть увеличении её определённости по x, её импульс p становится менее определённым. Случайным образом неопределённость импульса \Delta p может добавить частице энергии для преодоления барьера. Таким образом, с некоторой вероятностью квантовая частица может проникнуть через барьер, а средняя энергия частицы останется неизменной.

Макроскопические проявления туннельного эффекта[править | править вики-текст]

Туннельный эффект имеет ряд проявлений в макроскопических системах:

История и исследователи[править | править вики-текст]

В 1928 Георгий Гамов разработал теорию альфа-распада, основанную на туннельном эффекте[2]. Автоэлектронная эмиссия из металла в вакуум (туннелирование электрона сквозь поверхностный барьер) описывается законом Фаулера — Нордгейма, также выведенном в 1928 г.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Гольданский В. И., Трахтенберг Л. И., Флёров В. Н. Туннельные явления в химической физике. М.: Наука, 1986. — 296 с.
  • Блохинцев Д. И., Основы квантовой механики, 4 изд., М., 1963;
  • Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 3-е, переработанное и дополненное. — М.: Наука, 1974. — 752 с. — («Теоретическая физика», том III).