Фонон

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Нормальные моды колебаний в кристалле. Амплитуда колебаний была увеличена для удобства просмотра; в реальном кристалле, она обычно существенно меньше межатомного расстояния.

Фоно́н — квазичастица, введённая советским учёным Игорем Таммом. Фонон представляет собой квант колебательного движения атомов кристалла.

Необходимость использования квазичастиц[править | править вики-текст]

Концепция фонона оказалась очень плодотворной в физике твёрдого тела. В кристаллических материалах атомы активно взаимодействуют между собой, и рассматривать в них такие термодинамические явления, как колебания отдельных атомов, затруднительно — получаются огромные системы из триллионов связанных между собой линейных дифференциальных уравнений, аналитическое решение которых невозможно. Колебания атомов кристалла заменяются распространением в веществе системы звуковых волн, квантами которых и являются фононы. Спин фонона равен нулю (в единицах \hbar). Фонон принадлежит к числу бозонов и описывается статистикой Бозе-Эйнштейна. Фононы и их взаимодействие с электронами играют фундаментальную роль в современных представлениях о физике сверхпроводников, процессах теплопроводности, процессах рассеяния в твердых телах. Модель кристалла металла можно представить как совокупность гармонически взаимодействующих осцилляторов, причем наибольший вклад в их среднюю энергию дают колебания низких частот, соответствующие упругим волнам, квантами которых и являются фононы.

Фононы в одномерном кристалле с одним атомом в элементарной ячейке[править | править вики-текст]

В простейшем случае одномерного кристалла, состоящего из одинаковых атомов массы m \ , равновесные положения которых определяются вектором решетки:

\mathbf{n}=n\mathbf{a}, \

где n=1,2,...,N \ . Предположим, что поперечные и продольные смещения атомов независимы. Пусть \xi_n \  — одно из таких смещений атома, занимающего узел n \ . В потенциальной энергии U \ смещений нейтральных атомов из положений равновесия можно учитывать только взаимодействия соседних атомов. Тогда потенциальная энергия будет:

U=\frac{1}{2}\gamma \sum_{n=1}^N (\xi_n-\xi_{n-1})^2 \

Кинетическая энергия выражается через скорости смещений \dot{\xi_n} \ с помощью функции:

K=\frac{1}{2}m\sum_{n=1}^N \dot{\xi_n}^2 \ .

Введем циклические условия:

\xi_n=\xi_{n+Na} \ .

Одномерной решетке соответствует зона Бриллюэна в \mathbf{k} \ - пространстве с границами:

-\pi \le \mathbf{k}a<\pi  \ .

Внутри этой зоны располагаются N \ неэквивалентных волновых векторов:

\mathbf{k}=\frac{2\pi \mu}{Na^2} \mathbf{a}, \

где \mu=0,\pm 1,\pm 2,...,\pm\frac{N}{2} \ . От смещений отдельных атомов \xi_n \ удобно перейти к новым обобщенным координатам A_k \ , которые характеризуют коллективные движения атомов, соответствующие определенным значениям \mathbf{k} \ . Для этого введем преобразование:

\xi_n=N^{-1/2}\sum_{k=1} A_k exp (i\mathbf{k}\mathbf{n}). \

Новые переменные должны удовлетворять условию:

A_k=A_{-k}^* \ .

Таким образом, потенциальная

U=\frac{1}{2}m\sum_{k=1} \Omega^2(\mathbf{k})A_kA_{-k} \

и кинетическая энергия

K=\frac{1}{2}m\sum_{k=1} \dot{A_k}\dot{A_{-k}}  \ ,

где

m\Omega^2(\mathbf{k})=m\Omega^2(\mathbf{-k})=4\gamma sin^2\frac{\mathbf{k}\mathbf{a}}{2} \

выражаются через новые коллективные переменные и их временные производные. Нас в дальнейшем будет интересовать частота фононных колебаний в виде:

\Omega(\mathbf{k})=\Omega(\mathbf{-k})=2\sqrt{\frac{\gamma}{m}}|sin \frac{\mathbf{k}\mathbf{a}}{2}| \

Зная частоту фононов как функцию \mathbf{k} \ , можно вычислить фазовую V_f \ и групповую V_g \ скорости соответствующих элементарных возбуждений:

V_f=\frac{\Omega(\mathbf{k})}{k}=\frac{2}{k}\sqrt{\frac{\gamma}{m}}|sin \frac{\mathbf{k}\mathbf{a}}{2}| \
V_g=\frac{d\Omega(\mathbf{k})}{dk}=a\sqrt{\frac{\gamma}{m}}|cos \frac{\mathbf{k}\mathbf{a}}{2}| \

Акустические фононы[править | править вики-текст]

Длинноволновые возбуждения при ka=\frac{2\pi a}{\lambda} \ll 1 \ характеризуются величинами:

\Omega(\mathbf{k})=ka\sqrt{\frac{\gamma}{m}}=kV_f \
V_f=V_g=a\sqrt{\frac{\gamma}{m}} \ .

Эти возбуждения можно рассматривать как упругие волны в среде. Скорость упругих волн (скорость звука) определяется в механике выражением:

V_{ac}=\sqrt{\frac{E}{\rho_{1D}}} \ ,

где E \ - модуль Юнга, а \rho_{1D}=\frac{m}{a}  — одномерная плотность среды. Модуль Юнга определяет отношение силы \gamma(\xi_n-\xi_{n-1}) \ к вызванной ею относительной деформации (\xi_n-\xi_{n-1})/a \ . Он равен

E=a\gamma \ .

Таким образом, акустическая скорость равна величине:

V_{ac}=a\sqrt{\frac{\gamma}{m}} \ .

Следовательно, рассматриваемые в пределе ka \ll 1 \ возбуждения совпадают с акустическими волнами в упругой среде. Поэтому эти возбуждения называются акустическими фононами.

Оптические фононы[править | править вики-текст]

Когда волновой вектор приближается к границе зоны Бриллюэна (ka \to \pi \ или \lambda \to 2a \ ), то фазовая скорость будет равна величине:

V_f \to \frac{2a}{\pi}\sqrt{\frac{\gamma}{m}} \ ,

а групповая скорость стремится к нулю. Эти элементарные возбуждения в твердом теле можно назвать оптическими фононами.

Акустические и оптические фононы[править | править вики-текст]

Дисперсионные кривые для линейной двухатомной цепочки

Акустические фононы[править | править вики-текст]

Акустический фонон характеризуется при малых волновых векторах линейным законом дисперсии и параллельным смещением всех атомов в элементарной ячейке. Такой закон дисперсии описывает звуковые колебания решетки (поэтому фонон и называется акустическим). Для трехмерного кристалла общей симметрии существует три ветви акустических фононов. Для кристаллов высокой симметрии эти три ветви можно разделить на две ветви поперечных волн различной поляризации и продольную волну. В центре зоны Бриллюэна (для длинноволновых колебаний) законы дисперсии для акустических фононов линейны.

 \omega_i = s_i k \, ,

где ω — частота колебаний, k — волновой вектор, а коэффициенты Si — скорости распространения акустических волн в кристалле, то есть скорости звука .

Оптические фононы[править | править вики-текст]

Оптические фононы существуют только в кристаллах, элементарная ячейка которых содержит два и более атомов. Эти фононы характеризуются при малых волновых векторах такими колебаниями атомов, при которых центр тяжести элементарной ячейки остается неподвижным. Энергия оптических фононов обычно достаточно велика (порядка 500 см−1) и слабо зависит от волнового вектора.

Наряду с электронами, акустические и оптические фононы дают вклад в теплоёмкость кристалла. Для акустических фононов при низких температурах этот вклад, согласно модели Дебая, кубически зависит от температуры.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Давыдов А. С. Теория твердого тела. М.:Наука, 1976.-636с.
  • Feynman Richard P. Statistical Mechanics, A Set of Lectures. — Reading, Massachusetts: The Benjamin/Cummings Publishing Company, Inc., 1982. — P. 159. — ISBN Clothbound: 0-8053-2508-5, Paperbound: 0-8053-2509-3