Длина кривой

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Длина кривой (или, что то же, длина дуги кривой) — числовая характеристика протяжённости этой кривой[1]. Исторически вычисление длины кривой называлось спрямлением кривой (от лат. rectificatio, спрямление).

Определение[править | править вики-текст]

Для евклидова пространства длина отрезка кривой определяется как точная верхняя грань длин вписанных в кривую ломаных.

Для наглядности рассмотрим трёхмерное пространство. Пусть непрерывная кривая \gamma задана параметрически:

 x=x(t),\quad y=y(t),\quad z=z(t) (1)
Приближение кривой ломаными

где ~a \leqslant t \leqslant b. Рассмотрим всевозможные разбиения интервала значений параметра [a,b] на m отрезков: ~a=t_0<t_1<\dots<t_m=b. Соединив точки кривой ~\gamma(t_0), \dots, \gamma(t_m) отрезками прямых, мы получим ломаную линию. Тогда длина отрезка кривой определяется как точная верхняя грань суммарных длин всех таких ломаных.

Связанные определения[править | править вики-текст]

  • Всякая кривая имеет длину, конечную или бесконечную. Если длина кривой существует и конечна, то говорят, что кривая спрямляемая, в противном случае — неспрямляемая. (Снежинка Коха — классический пример неспрямляемой кривой.)
  • Параметризация кривой длиной дуги называется естественной.
  • Кривая есть частный случай функции из отрезка в пространство. Вариация функции, определяемая в математическом анализе, является обобщением длины кривой (см. ниже).

Свойства[править | править вики-текст]

s=\int\limits_a^b \sqrt{{x'}^2(t) + {y'}^2(t) + {z'}^2(t)}\, dt (2)
Формула подразумевает, что a \leqslant b и длина отсчитывается в сторону возрастания параметра t. Если рассматриваются два разных направления отсчёта длины от точки кривой, то часто удобно приписать дуге на одном из этих направлений знак минус.
В n-мерном случае вместо (2) имеем аналогичную формулу:
s=\int\limits_a^b \sqrt{\sum\limits_{k=1}^n {f'_k}^2 (t)} \, dt.
Можно также вычислить длину кривой \gamma через криволинейный интеграл I рода:
s= \int\limits_\gamma d\gamma
  • Если плоская кривая задана уравнением y=f(x), то её длина равна:
    s=\int\limits_a^b \sqrt{1 + {f'}^2(x)}\, dx.
В полярных координатах (r, \varphi):
s=\int\limits_a^b \sqrt{r^2+\left(\frac{dr}{d\varphi}\right)^2} \, d\varphi.

История[править | править вики-текст]

Задача спрямления оказалась гораздо сложнее, чем вычисление площади, и в античные времена единственное успешное спрямление было выполнено для окружности. Декарт даже высказывал мнение, что «отношение между прямым и кривым неизвестно, и даже, думаю, не может быть познано людьми».

Первым достижением стало спрямление параболы Нейла (1657), выполненное Ферма и самим Нейлом. Вскоре была найдена длина арки циклоиды (Рен, Гюйгенс). Джеймс Грегори (ещё до открытия математического анализа) создал общую теорию нахождения длины дуги, которая немедленно была использована для различных кривых.

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

Риманово пространство[править | править вики-текст]

В n-мерном римановом пространстве с координатами x^1 \cdots x^n кривая задаётся параметрическими уравнениями:

 x^i=x^i(t) \qquad\qquad , ((3))

Длина кривой в римановом пространстве задаётся формулой:

s = \int\limits_a^b \sqrt{ g_{ij}{dx^i\over dt}{dx^j\over dt}}\,dt,

где : g_{ij}метрический тензор. Пример: кривая на поверхности в \mathbb{R}^3.

Общее метрическое пространство[править | править вики-текст]

В более общем случае произвольного метрического пространства (X,\rho) длиной S кривой называется вариация задающего кривую отображения, то есть длина кривой \gamma:[a,b]\to X определяется согласно формуле:

s=\sup \sum\limits_{k=0}^m \rho(\gamma(x_{k+1}),\gamma(x_k)),

где верхняя грань берётся, как и ранее, по всем разбиениям a=x_0<x_1<\dots<x_m=b отрезка [a,b].

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]