Точная последовательность

Точная последовательность — последовательность алгебраических объектов $G_{i}$ с последовательностью гомоморфизмов $\varphi _{i}\colon G_{i}\rightarrow G_{i+1}$, такая что для любого $i$ образ $\varphi _{i-1}$ совпадает с ядром $\varphi _{i}$ (если оба гомоморфизма с такими индексами существуют). В большинстве приложений роль $G_{i}$ играют коммутативные группы, иногда векторные пространства или алгебры над кольцами.

Связанные определения

Иллюстрация

• Точные последовательности типа

  $0\longrightarrow A{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}B{\stackrel {\psi }{\longrightarrow }}C\longrightarrow 0$

называются короткими точными последовательностями, в этом случае $\varphi$ — мономорфизм, а $\psi$ — эпиморфизм.

• При этом, если у $\varphi$ есть правый обратный или у $\psi$ левый обратный морфизм, то $B$ можно отождествить с $A\oplus C$ таким образом, что $\varphi$ отождествляется с каноническим вложением $A$ в $A\oplus C$, а $\psi$ — с канонической проекцией $A\oplus C$ на $C$. В этом случае короткая точная последовательность называется расщепляющейся.

• Длинная точная последовательность — это точная последовательность с бесконечным числом объектов и гомоморфизмов.
• Если $\mathrm {Im} \,\varphi _{i}\subset \mathrm {Ker} \,\varphi _{i+1},$ то последовательность называется полуточной.

Примеры

• В теории гомотопических групп большое значение имеет точная последовательность пары, в частности, точная последовательность расслоения. Если $F\to M\to B$ — локально тривиальное расслоение над $B$ со слоем $F$, то следующая последовательность гомотопических групп точна:

$\ldots \to \pi _{n}(F)\to \pi _{n}(M)\to \pi _{n}(B)\to \pi _{n-1}(F)\to \ldots \to \pi _{0}(F)\to \pi _{0}(M)\to \pi _{0}(B)$

• Точная последовательность Майера — Вьеториса имеет большое значение для вычисления групп гомологий сложных пространств:

${\begin{aligned}\cdots \rightarrow H_{n+1}(X)\,&{\xrightarrow {\partial _{*}}}\,H_{n}(A\cap B)\,{\xrightarrow {(i_{*},j_{*})}}\,H_{n}(A)\oplus H_{n}(B)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,H_{n}(X){\xrightarrow {\partial _{*}}}\\&\quad {\xrightarrow {\partial _{*}}}\,H_{n-1}(A\cap B)\rightarrow \cdots \rightarrow H_{0}(A)\oplus H_{0}(B)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,H_{0}(X)\rightarrow \,0.\end{aligned}}$

• Цепной комплекс — это полуточная последовательность абелевых групп.
• Пусть $E\to X$ — локально тривиальное расслоение многообразий. Тогда с ним связана короткая точная последовательность расслоений

$0\longrightarrow VX\longrightarrow TE\longrightarrow HX\longrightarrow 0$

и двойственная к ней

$0\longleftarrow V^{*}X\longleftarrow T^{*}E\longleftarrow H^{*}X\longleftarrow 0$

Здесь $TE$ — касательное расслоение к многообразию $E$, $VX$ и $HX$ — вертикальное и горизонтальное расслоения к $X$ соответственно. $^{*}$ обозначает двойственное расслоение (кокасательное и т. п.).

• Экспоненциальная точная последовательность

$0\to 2\pi i\,\mathbb {Z} \to {\mathcal {O}}_{M}\to {\mathcal {O}}_{M}^{*}\to 0,$

где ${\mathcal {O}}_{M}$ и ${\mathcal {O}}_{M}^{*}$ — пучок голоморфных функций на комплексном многообразии $M$ и его подпучок, состоящий из нигде не обнуляющихся функций