Интегралы Френеля

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
S(x) и C(x). Максимальное значение для C(x) примерно равно 0.977451424. Если использовать вместо , то график изменит вертикальный и горизонтальный масштаб (см. ниже).

Интегралы Френеля S(x) и C(x) — это специальные функции, названные в честь Огюстена Жана Френеля и используемые в оптике. Они возникают при расчёте дифракции Френеля и определяются как

Параметрический график S(x) и C(x) даёт кривую на плоскости, называемую спиралью Корню или клотоидой.

Разложение в ряд[править | править вики-текст]

Нормализованные интегралы Френеля, S(x) и C(x). На этих кривых аргумент подынтегральных тригонометрических функций равен , а не , как на рисунке выше.

Интегралы Френеля могут быть представлены степенными рядами, сходящимися при всех x:

Некоторые авторы[1] используют в качестве аргумента тригонометрических подынтегральных функций . Таким образом определенные интегралы Френеля получаются из определённых выше интегралов заменой переменной и умножением интегралов на .

Спираль Корню[править | править вики-текст]

Спираль Корню (x,y)=(C(t), S(t)). Спираль стремится к центрам отверстий при .

Спираль Корню, также известная как клотоида, — это кривая, являющаяся параметрическим графиком S(t) от C(t). Спираль Корню была придумана Мари Альфредом Корню для облегчения расчёта дифракции в прикладных задачах.

Так как

то в такой параметризации касательный вектор имеет единичную длину, так что t является длиной кривой, измеряемой от точки (0,0). Следовательно, обе ветви спирали имеют бесконечную длину.

Кривизна этой кривой в любой точке пропорциональна длине дуги, заключённой между этой точкой и началом координат. Благодаря этому свойству она применяется в строительстве дорог, так как угловое ускорение машины, движущейся по этой кривой с постоянной скоростью, будет нулевым.

Свойства[править | править вики-текст]

  • и  — нечётные функции .
  • Асимптотики интегралов Френеля при даются формулами
.
  • Интегралы Френеля не выражаются через элементарные функции, кроме частных случаев. Предел этих функций при равен

Вычисление[править | править вики-текст]

Контур, используемый для вычисления предельного значения интегралов Френеля.

Пределы функций C и S при могут быть найдены с помощью контурного интегрирования. Для этого берётся контурный интеграл функции

по границе сектора на комплексной плоскости, образованного осью абсцисс, лучом , и окружностью радиуса R с центром в начале координат.

При интеграл по дуге стремится к 0, интеграл по вещественной оси стремится к значению интеграла Пуассона

и, после некоторых преобразований, интеграл вдоль оставшегося луча может быть выражен через предельное значение интеграла Френеля.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  • Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. — New York: Dover, 1972. (См. часть 7)  (англ.)
  1. Уравнения 7.3.1 — 7.3.2

Внешние ссылки[править | править вики-текст]