Мультиоператорная группа

Мультиоператорная группа — произвольная алгебра, снабжённая групповой структурой, обобщающая понятия группы, кольца, тела, операторной группы (которая, в свою очередь, обобщает модули над кольцами, в частности, векторные пространства).

Введена в 1956 году английским математиком Филипом Хиггинсом как наиболее универсальная структура, в которой всякая конгруэнция представляется разложением на смежные классы по идеалам, а также для которой может быть определено понятие коммутанта.

Другие примеры мультиоператорых групп — почтикольцо и почтиполе. Также изучены специальные универсальные классы мультиоператорных групп — мультиоператорные кольца и мультиоператорные алгебры.

Определения

Мультиоператорная группа или $\Sigma$-группа — алгебра ${\mathfrak {G}}=\langle G,+,-,0,\Sigma \rangle$, образующая группу $\langle G,+,-,0\rangle$, притом для всякой $n$-арной операции $\sigma \in \Sigma$ выполнено $\sigma (0,\dots ,0)=0$, то есть $\{0\}$ образует подсистему в ${\mathfrak {G}}$. Принимается, что часть сигнатуры $\Sigma$ не содержит нульарных операций. Иногда мультиоператорная группа называется по своей дополнительной сигнатуре — $\Sigma$-группа.

Нормальная подгруппа $N$ группы $\langle G,+,-,0\rangle$ называется идеалом мультиоператорной группы ${\mathfrak {G}}=\langle G,+,-,0,\Sigma \rangle$, если для любой $n$-арной операции $\sigma \in \Sigma$, произвольных $g_{i}\in G$ ($1\leqslant i\leqslant n$) и $a\in N$ все элементы вида:

$-\sigma (g_{1},\dots ,g_{n})+\sigma (g_{1},\dots ,g_{i-1},a+g_{i},g_{i+1},\dots ,g_{n})$

вновь принадлежат $N$. Может использоваться обозначение $N\triangleleft {\mathfrak {G}}$ по аналогии с обозначениями нормальной подгруппы и идеала кольца. Мультиоператорная группа называется простой, если у неё существует только два идеала — сама группа и нулевая подгруппа.

Коммутатор элементов $g_{1},g_{2}$ мультиоператорной группы ${\mathfrak {G}}=\langle G,+,-,0,\Sigma \rangle$ определяется как элемент $-g_{1}-g_{2}+g_{1}+g_{2}$, обозначается $[g_{1},g_{2}]$.

Коммутант мультиоператорной группы — идеал, порождённый всеми коммутаторами $[g,h]$ и элементами вида:

$-\sigma (g_{1},\dots ,g_{n})-\sigma (h_{1},\dots ,h_{n})+\sigma (g_{1}+h_{1},\dots ,g_{n}+h_{n})$

для всякой $n$-арной операции $\sigma \in \Sigma$ из дополнительной сигнатуры мультиоператорной группы.

Свойства идеала

Основная статья: Идеал (алгебра)

Для групп идеал мультиоператорной группы совпадает с понятием нормальной подгруппы, а для колец и структур на их основе — с понятием двустороннего идеала.

Всякий идеал мультиоператорной группы является её подсистемой. Пересечение любой системы идеалов $\{N_{i}\mid i\in I\}$ мультиоператорной группы ${\mathfrak {G}}=\langle G,+,-,0,\Sigma \rangle$ вновь является её идеалом, притом этот идеал $N=\bigcap N_{i}$ совпадает с подгруппой группы $\langle G,+,-,0\rangle$, порождённой этими идеалами.

Основное свойство идеала — всякая конгруэнция на мультиоператорной группе описывается разложениями на смежные классы по некоторому идеалу, иными словами, о факторсистеме мультиоператорной группы (мультиоператорной факторгруппе) можно говорить как о конструкции, производящей новую мультиоператорную группу по её идеалу.

Специальные классы мультиоператорных групп

Мультиоператрное кольцо — мультиоператорная группа ${\mathfrak {G}}=\langle G,+,-,0,\Sigma \rangle$, аддитивная группа которой абелева и каждая $n$-арная операция $\sigma \in \Sigma$ дистрибутивна относительно группового сложения:

$\sigma (g_{1},\dots ,g_{i}+h_{i},\dots ,g_{n})=\sigma (g_{1},\dots ,g_{i},\dots ,g_{n})+\sigma (g_{1},\dots ,h_{i},\dots ,g_{n})$

для любых $g_{i},h_{i}\in G$.

Мультиоператорная алгебра — мультиоператорное кольцо, все унарные операции дополнительной сигнатуры $\Sigma$ которой образуют поле $\Sigma _{1}$, притом структура является векторным пространством над этим полем и для всех $\lambda \in \Sigma _{1}$, всех $n$-арных операций арности больше единицы $\sigma \in \Sigma \setminus \Sigma _{1}$ и произвольных элементов $g_{i}\in G$ выполнено:

$\lambda \sigma (g_{1},\dots ,g_{i},\dots ,g_{n})=\sigma (\lambda g_{1},\dots ,g_{i},\dots ,g_{n})=\sigma (g_{1},\dots ,\lambda g_{i},\dots ,g_{n})=\sigma (g_{1},\dots ,g_{i},\dots ,\lambda g_{n})$.

Как и другие мультиоператорные структуры, в тексте часто идентифицируется дополнительной сигнатурой: мультиоператорная $\Sigma$-алгебра (в данном случае и для избежания неоднозначности между алгеброй над кольцом, специальным обобщением которой является, и алгеброй в универсальном смысле).

Идеалами мультиоператорных колец и алгебр являются подгруппы $N\triangleleft G$, в которых наличие элемента $g_{i}\in N$ влечёт содержание в них также всех элементов вида $\sigma (g_{1},\dots ,g_{i},\dots ,g_{n})\in N$.

Литература

• А. Г. Курош. Группы с мультиоператорами // Лекции по общей алгебре. — 2-е изд.. — М.: Наука, 1973. — С. 114—124. — 400 с. — 30 000 экз.
• Артамонов В. А. . Глава VI. Универсальные алгебры // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1991. — Т. 2. — С. 295—367. — 480 с. — (Справочная математическая библиотека). — 25 000 экз. — ISBN 5-9221-0400-4.
• И. М. Виноградов. Мультиоператорная группа // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия (рус.). — 1977—1985.