Конгруэнция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Конгруэнция — отношение эквивалентности на алгебраической системе, сохраняющееся при основных операциях. Понятие играет важную роль в универсальной алгебре: всякая конгруэнция порождает соответствующую факторсистему — разбиение исходной алгебраической системы на классы эквивалентности по отношению к конгруэнции.

Определение[править | править вики-текст]

Отношение на множестве называется стабильным относительно -арной операции , определённой на этом множестве, если для любых элементов () множества из истинности отношений () вытекает истинность отношения .

Отношение называется конгруэнцией на алгебраической системе , если оно стабильно относительно каждой главной операции системы . (При таком определении понятие конгруэнции не зависит от основных отношений системы .)

Факторсистема[править | править вики-текст]

Для алгебраической системы на фактормножестве по конгруэнции для всех операций и отношений естественным образом вводятся операции и отношениями над соответствующими классами смежности:

,
.

Получающаяся система обозначается и называется факторсистемой, а отображение , определяемое правилом  — каноническим эпиморфизмом.

Множество всех конгруэнций данной системы образует полную решётку относительно операций объединения и пересечения, а также задает отношение включения:

.

Для любого набора конгруэнций заданной алгебраической системы имеет место следующий результат (теорема Ремака): факторсистема по пересечению набора конгруэнций вкладывается в прямое произведение факторсистем по каждой из конгруэнций набора:

.

Литература[править | править вики-текст]