Приведённая масса

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Приведённая масса — условная характеристика распределения масс в движущейся механической или смешанной (например, электро-механической) системе, зависящая от физических параметров системы (масс, моментов инерции, индуктивности и др.) и от её закона движения[1].

Обычно приведенная масса определяется из равенства , где кинетическая энергия системы, а скорость той точки системы, к которой приводится масса. В более общем виде приведённая масса является коэффициентом инерции в выражении кинетической энергии системы со стационарными связями, положение которой определяется обобщёнными координатами

где точка означает дифференцирование по времени, а есть функции обобщённых координат.

Задача двух тел[править | править вики-текст]

В задаче двух тел, возникающей, например, в небесной механике или теории рассеяния, приведённая масса появляется как некая эффективная масса, когда задачу двух тел сводят к двум задачам об одном теле. Рассмотрим два тела: одно с массой и другое с массой . В эквивалентной проблеме одного тела рассматривают движение тела с приведённой массой, равной

где сила, действующая на эту массу, дается силой, действующей между этими двумя телами. Видно, что приведённая масса равна половине среднего гармонического двух масс.

Приведённая масса всегда меньше каждой из масс или или равна одной из них, если эта масса равна нулю. Пусть масса значительно меньше массы (), тогда приближённое выражение для приведенной массы будет

Механика Ньютона[править | править вики-текст]

Используя второй закон Ньютона, можно найти, что воздействие тела 2 на тело 1 задаётся силой

Тело 1 оказывает влияние на тело 2 посредством силы

В силу третьего закона Ньютона эти две силы равны и противоположны по направлению:

Таким образом, имеем

или

Тогда относительное ускорение между двумя телами будет даваться выражением

Тогда можно заключить, что тело 1 двигается относительно положения тела 2 (и в поле силового воздействия тела 2) как тело с массой, равной приведённой массе .

Механика Лагранжа[править | править вики-текст]

Задачу двух тел также можно описывать в лагранжевом подходе. Функция Лагранжа представляет собой разность кинетической и потенциальной энергий. В данной задаче это

где  — радиус-вектор i-ой частицы с массой . Потенциальная энергия зависит от расстояния между частицами. Определим вектор

,

и пусть центр масс задаёт систему отсчёта

.

Тогда вектора положений масс переопределяются как

Тогда новую функцию Лагранжа можно переписать в виде

откуда видно, что задача двух тел редуцировалась в задачу движения одного тела.

Применение[править | править вики-текст]

Приведенная масса может иметь отношение к более общим алгебраическим выражениям, которые задают взаимосвязь элементов системы и имеют вид

где  — характеристика i-го элемента системы (например, сопротивление резистора в параллельной цепи),  — эквивалентная характеристика всей системы n элементов (например, полное сопротивление параллельного участка цепи). Такого рода выражения возникают во многих областях физики.

Понятие приведённой массы может встречаться в инженерных науках, например при расчётах конструкций на ударную нагрузку[2].

Примечания[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]