Пространственная форма

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Пространственная форма — связное полное риманово многообразие постоянной кривизны k.

Пространственная форма называется сферической, евклидовой или гиперболической если соответственно k>0, k=0, k<0.

С помощью перенормировки метрики классификацию пространственных форм можно свести к трём случаям: k=-1, 0, +1.

Примеры[править | править исходный текст]

Общие свойства[править | править исходный текст]

  • При произвольном n и k существует единственная с точностью до изометрии n-мерная односвязная пространственная форма M^n_k кривизны k. Если k>0 то это n-мерная сфера радиуса 1/\sqrt k, при k=0 это евклидово пространство и при k<0 это n-мерное пространство Лобачевского.
    • Универсальное накрытие любой n-мерной пространственной формы кривизны k с поднятой метрикой изометрично M^n_k.
    • Иначе говоря, любая n-мерная пространственная форма кривизны k может быть получена из M^n_k факторизацией по дискретной группе \Gamma движений, действующих свободно (то есть без неподвижных точек); при этом два пространства L=M^n_k/\Gamma и L'=M^n_k/\Gamma' изометричны в том и только в том случае, когда \Gamma и \Gamma' сопряжены в группе всех движений M^n_k. Тем самым проблема классификации пространственных форм сводится к задаче описания всех несопряженных групп движений пространств S^n, E^n в H^n, действующих дискретно и свободно.

Свойства сферических пространственных форм[править | править исходный текст]

Исчерпывающая классификация сферических пространственных форм получена в [2]

  • Если n чётно, то единственным движением сферы S^n без неподвижных точек является центральная симметрия, переводящая каждую точку сферы в диаметрально противоположную. Факторпространство P^n=S^n/\Gamma по группе \Gamma, порожденное этим движением, есть вещественная проективная плоскость с метрикой постоянной кривизны (также называется пространство Римана или эллиптическое пространство). В частности
    • Любая сферическая пространственная форма чётной размерности n изометрична либо S^n, либо P^n.
  • Любая конечная циклическая группа может служить фундаментальной группой сферической пространственной формы (см. линзовое пространство).
  • Чтобы нециклическая группа порядка N могла служить фундаментальной группой n-мерной сферической пространственной формы, необходимо (но не достаточно), чтобы N было взаимно просто с n+1 и делилось на квадрат какого-либо целого числа.

Свойства eвклидовых пространственных форм[править | править исходный текст]

Фундаментальные группы компактых eвклидовых пространственных форм являются частным случаем кристаллографических групп. Теоремы Бибербаха о кристаллографических группах в E^n приводят к структурной теории компактных eвклидовых пространственных форм произвольной размерности:

  • Для любого n\ge 2 существует только конечное число разных классов афинно не эквивалентных компактных eвклидовых пространственных форм размерности n.
  • Две компактные eвклидовы пространственные формы M=E^n/\Gamma и M' = E^n/\Gamma' аффинно эквивалентны, тогда и только тогда, когда их фундаментальные группы \Gamma и \Gamma' изоморфны.
    • Например, любая двумерная компактная eвклидова пространственная форма гомеоморфна (а следовательно, аффинно эквивалентна) либо плоскому тору, либо плоской бутылке Клейна.
  • Абстрактная группа \Gamma тогда и только тогда может служить фундаментальной группой компактной eвклидовой пространственной формы M^n, когда
    1. \Gamma имеет нормальную абелеву подгруппу \Gamma^* конечного индекса, изоморфную \Z^n;
    2. \Gamma^* совпадает со своим централизатором в \Gamma;
    3. \Gamma не имеет элементов конечного порядка.
    • Если такая группа \Gamma реализована в виде дискретной подгруппы в группе всех движений пространства E^n, то \Gamma^* совпадает с множеством параллельных сдвигов, принадлежащих \Gamma, и имеется нормальное накрытие пространства M плоским тором T^n=E^n/\Gamma^*.
    • Конечная группа \Gamma/\Gamma^* изоморфна группе голономии пространства M^n.
  • Компактная евклидова пространственная форма всегда имеет конечную группу голономии.
    • Справедливо и обратное утверждение: компактное риманово пространство, группа голономии которого конечна, является плоским.
  • Любая конечная группа изоморфна группе голономии некоторой компактной eвклидовой пространственной формы.
  • Любая некомпактная eвклидова пространственная форма допускает вещественноаналитическую ретракцию на компактное вполне геодезическое плоское подмногообразие (см. теорема о душе).
    • В частности класс фундаментальных групп некомпактных eвкидовых пространственных форм совпадает с классом фундаментальных групп компактных eвклидовых пространственных форм.

Свойства гиперболических пространственных форм[править | править исходный текст]

  • Компактные гиперболические пространственные формы размерности n\ge3, имеющие изоморфные фундаментальные группы, изометричны.

История[править | править исходный текст]

Исследование двумерных гиперболических пространственных форм по существу началось в 1888, когда Пуанкаре изучая дискретные группы дробно-линейных преобразований комплексной полуплоскости Im(z)>0 — фуксовы группы, заметил, что их можно трактовать как группы движений плоскости Лобачевского.

Проблема классификации n-мерных римановых пространств произвольной постоянной кривизны была сформулирована Киллнигом (нем.), который назвал её проблемой пространственных форм Клиффорда — Клейна; современная формулировка этой проблемы была дана Хопфом (1925).

Вариации и обобщения[править | править исходный текст]

Кроме римановых пространственных форм изучались их обобщения: псевдоримановы, аффинные и комплексные пространственные формы и пространственные формы симметрических пространств.

Литература[править | править исходный текст]

  1. Винберг Э. Б., «Матем.сб.», 1969, т. 78, № 4, с. 633—39;
  2. Вольф Дж., Пространства постоянной кривизны, пер. с англ. , М . , 1982