Пространственная форма

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Пространственная форма — связное полное риманово многообразие постоянной кривизны .

Пространственная форма называется сферической, евклидовой или гиперболической если соответственно , , .

С помощью перенормировки метрики классификацию пространственных форм можно свести к трём случаям: .

Примеры[править | править вики-текст]

  • Евклидовы пространственные формы:
  • Сферические пространственные формы:
  • Гиперболические пространственные формы:
    • Пространство Лобачевского (гиперболическое пространство) .
    • Двумерную ориентированную компактную гипрболическую пространственную форму рода можно склеить из выпуклого -угольника в плоскости Лобачевского с попарно равными сторонами и суммой углов равной . Семейство неизоморфных компактных гиперболических пространственных форм размерности рода зависит от вещественных параметров.
    • Примеры гиперболических пространственных форм приведены в[1].

Общие свойства[править | править вики-текст]

  • При произвольном и существует единственная с точностью до изометрии -мерная односвязная пространственная форма кривизны . Если то это -мерная сфера радиуса , при это евклидово пространство и при это -мерное пространство Лобачевского.
    • Универсальное накрытие любой -мерной пространственной формы кривизны с поднятой метрикой изометрично .
    • Иначе говоря, любая -мерная пространственная форма кривизны может быть получена из факторизацией по дискретной группе движений, действующих свободно (то есть без неподвижных точек); при этом два пространства и изометричны в том и только в том случае, когда и сопряжены в группе всех движений . Тем самым проблема классификации пространственных форм сводится к задаче описания всех несопряженных групп движений пространств , в , действующих дискретно и свободно.

Свойства сферических пространственных форм[править | править вики-текст]

Исчерпывающая классификация сферических пространственных форм получена в[2]

  • Если чётно, то единственным движением сферы без неподвижных точек является центральная симметрия, переводящая каждую точку сферы в диаметрально противоположную. Факторпространство по группе , порожденное этим движением, есть вещественная проективная плоскость с метрикой постоянной кривизны (также называется пространство Римана или эллиптическое пространство). В частности
    • Любая сферическая пространственная форма чётной размерности изометрична либо , либо .
  • Любая конечная циклическая группа может служить фундаментальной группой сферической пространственной формы (см. линзовое пространство).
  • Чтобы нециклическая группа порядка могла служить фундаментальной группой -мерной сферической пространственной формы, необходимо (но не достаточно), чтобы было взаимно просто с и делилось на квадрат какого-либо целого числа.

Свойства eвклидовых пространственных форм[править | править вики-текст]

Фундаментальные группы компактых eвклидовых пространственных форм являются частным случаем кристаллографических групп.

Теоремы Бибербаха о кристаллографических группах в приводят к структурной теории компактных евклидовых пространственных форм произвольной размерности:

  • Для любого существует только конечное число разных классов афинно не эквивалентных компактных евклидовых пространственных форм размерности .
  • Две компактные евклидовы пространственные формы и аффинно эквивалентны, тогда и только тогда, когда их фундаментальные группы и изоморфны.
    • Например, любая двумерная компактная евклидова пространственная форма гомеоморфна (а следовательно, аффинно эквивалентна) либо плоскому тору, либо плоской бутылке Клейна.
  • Абстрактная группа тогда и только тогда может служить фундаментальной группой компактной eвклидовой пространственной формы , когда
    1. имеет нормальную абелеву подгруппу конечного индекса, изоморфную ;
    2. совпадает со своим централизатором в ;
    3. не имеет элементов конечного порядка.
    • Если такая группа реализована в виде дискретной подгруппы в группе всех движений пространства , то совпадает с множеством параллельных сдвигов, принадлежащих , и имеется нормальное накрытие пространства плоским тором .
    • Конечная группа изоморфна группе голономии пространства .
  • Компактная евклидова пространственная форма всегда имеет конечную группу голономии.
    • Справедливо и обратное утверждение: компактное риманово пространство, группа голономии которого конечна, является плоским.
  • Любая конечная группа изоморфна группе голономии некоторой компактной евклидовой пространственной формы.
  • Любая некомпактная евклидова пространственная форма допускает вещественноаналитическую ретракцию на компактное вполне геодезическое плоское подмногообразие (см. теорема о душе).
    • В частности класс фундаментальных групп некомпактных eвкидовых пространственных форм совпадает с классом фундаментальных групп компактных евклидовых пространственных форм.

Свойства гиперболических пространственных форм[править | править вики-текст]

  • Компактные гиперболические пространственные формы размерности , имеющие изоморфные фундаментальные группы, изометричны.

История[править | править вики-текст]

Исследование двумерных гиперболических пространственных форм по существу началось в 1888, когда Пуанкаре изучая дискретные группы дробно-линейных преобразований комплексной полуплоскости  — фуксовы группы, заметил, что их можно трактовать как группы движений плоскости Лобачевского.

Проблема классификации -мерных римановых пространств произвольной постоянной кривизны была сформулирована Киллнигом (нем.), который назвал её проблемой пространственных форм Клиффорда — Клейна; современная формулировка этой проблемы была дана Хопфом (1925).

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

Кроме римановых пространственных форм изучались их обобщения: псевдоримановы, аффинные и комплексные пространственные формы и пространственные формы симметрических пространств.

Литература[править | править вики-текст]

  1. Винберг Э. Б. «Матем. сб.». — 1969, т. 78, № 4. — С. 633—39.
  2. Вольф Дж. Пространства постоянной кривизны, пер. с англ. — М., 1982.