Разложение простых идеалов в расширениях Галуа

Разложение простых идеалов в расширениях Галуа — разложение простых идеалов $P$ кольца целых $O_{K}$ поля алгебраических чисел $K$ в кольце целых $O_{L}$ расширении Галуа $L/K$ с группой Галуа $G$. Изучение этого разложения является одной из самых богатых частей алгебраической теории чисел. Эта теория иногда приписывается Гильберту, в связи с чем фигурирует под названием теория Гильберта.

Определения

Пусть $L/K$ — конечное расширение числового поля, а $O_{K}$ и $O_{L}$ — кольца целых чисел $K$ и $L$ соответственно.

${\begin{array}{ccc}O_{K}&\hookrightarrow &O_{L}\\\downarrow &&\downarrow \\K&\hookrightarrow &L\end{array}}$

Наконец, пусть $P$ является ненулевым простым идеалом в $O_{K}$ или, что эквивалентно, максимальным идеалом, так что факторкольцо $O_{K}/P$ — поле.

Из основ теории одномерного кольца следует существование единственного разложения идеала $P$:

$P=\prod \limits _{j=1}^{g}P_{j}^{e_{j}},$

где $P_{j}$ — различные максимальные идеалы, а $e_{j}\geqslant 1$ — их кратность.

Поле $F=O_{K}/P$ естественно вкладывается в $F_{j}=O_{L}/P_{j}$ для каждого $j$, степень $f_{j}=[O_{L}/P_{j}:O_{K}/P]$ этого расширения поля вычетов называется степенью инерции $P_{j}$ над $P$.

Показатель $e_{j}$ называется индексом ветвления $P_{j}$ над $P$. Если $e_{j}>1$ для некоторого $j$, то расширение $L/K$ называется разветвленным в $P$ (или мы говорим, что $P$ разветвляется в $L$). В противном случае $L/K$ называется неразветвленным в $P$. Если это так, то по китайской теореме об остатках фактор $O_{L}/P$ является произведением полей $F_{j}$. $P$ разветвлён тогда и только тогда, когда он делит относительный дискриминант, значит неразветвлено лишь конечное число простых идеалов.

Из мультипликативности нормы идеала вытекает

$[L:K]=\sum \limits _{j=1}^{g}e_{j}f_{j}.$

Если $f_{j}=e_{j}$ для всех $j$ (и, следовательно, $g=[L:K]$), то говорим, что $P$ полностью разлагается в $L$. Если $g=1$ и $f_{1}=1$ (и поэтому $e_{1}=[L:K]$), мы говорим, что $P$ полностью разветвляется в $L$. Наконец, если $g=1$ и $e_{1}=1$ (и поэтому $f_{1}=[L:K]$), мы говорим, что $P$ инертен в $L$.

Разложение в расширениях Галуа

Пусть $L/K$ является расширением Галуа. Тогда группа Галуа $G=\operatorname {Gal} (L/K)$ действует транзитивно на $P_{j}$. То есть простые идеальные множители в разложении $P$ в $L$ образуют единую орбиту при действии автоморфизма $L$ над $K$. Из этого и теореме о единственности факторизации следует, что $f=f_{j}$ и $e=e_{j}$ не зависят от $j$. Тогда полученные соотношения принимают вид

$P=\left(\prod \limits _{j=1}^{g}P_{j}\right)^{e}$.

и

$[L:K]=efg.$

Отсюда следует, что $[L:K]/ef=g$ — числу простых коэффициентов $P$ в $O_{L}$. По формуле числа элементов в орбите $g=|G|/|D_{P_{j}}|$ для всех $j$, где $D_{P_{j}}=\{\sigma \in G:\sigma (P_{j})=P_{j}\}$ — стабилизатор $P_{j}$, называемый группой разложения идеала $P_{j}$. Так как $[L:K]=|G|$ по базовой теории Галуа, то порядок группы разложения $|D_{P_{j}}|=ef$ для всех $j$.

Группа разложения содержит нормальную подгруппу $I_{P_{j}}$, называемую группой инерции $P_{j}$, состоящую из автоморфизмов $L/K$, которые индуцируют тождественный автоморфизм на $F_{j}=O_{L}/P_{j}$. Другими словами, $I_{P_{j}}$ является ядром редукционного отображения $D_{P_{j}}\to \operatorname {Gal} (F_{j}/F)$. Можно показать, что это отображение является сюръективным, и из этого следует, что $\operatorname {Gal} (F_{j}/F)\cong D_{P_{j}}/I_{P_{j}}$ и $|I_{P_{j}}|=e$.

Теория элемента Фробениуса идет дальше, чтобы идентифицировать элемент $D_{P_{j}}/I_{P_{j}}$ для данного $j$, что соответствует автоморфизму Фробениуса в группе Галуа конечного расширения поля $F_{j}/F$. В неразветвленном случае порядок $|D_{P_{j}}|=f$ и $I_{P_{j}}$ тривиально. Кроме того, элемент Фробениуса в этом случае является элементом $D_{P_{j}}$ (и, следовательно, также элемент из $G$).

Разложение простых идеалов в полях, которые не являются расширениями Галуа, можно изучать с помощью поля разложения, то есть с помощью расширения Галуа, которое содержит исходное поле, но несколько больше, чем оно. Например, кубическое поле обычно вкладывается в расширение Галуа степени 6.

Пример — целые гауссовы числа

В этом разделе описывается расщепление простых идеалов в расширении поля $\mathbb {Q} (i)/\mathbb {Q}$. То есть мы берем $K=\mathbb {Q}$ и $L=\mathbb {Q} (i)$, поэтому $O_{K}=\mathbb {Z}$ и $O_{L}=\mathbb {Z} [i]$ — кольцо гауссовых целых чисел. Хотя этот случай далек от репрезентативного, поскольку $\mathbb {Z} [i]$ — Факториальное кольцо и конечное небольшое число квадратичных полей с единственным разложением на множители — он показывает многие из особенностей теории.

Обозначим $G$ — группа Галуа $\mathbb {Q} (i)/\mathbb {Q}$, $G=\{1,\sigma \}$, где $\sigma$ — комплексно-сопряженный автоморфизм. Рассмотрим три случая.

Простое p = 2

Простое 2 в $\mathbb {Z}$ разветвляется $\mathbb {Z} [i]$:

$(2)=((1+i)^{2})$

Индекс ветвления $e=2$. Поле вычетов здесь равно

$O_{L}/(1+i)O_{L}\cong \mathbb {F} _{2}$

— конечное поле из 2-х элементов. Группа разложения $D_{(1+i)}=G$, так как существует только одно из чисел $\mathbb {Z} [i]$ выше 2. Группа инерции $I_{1+i}=G$, так как

$a+bi\equiv a-bi{\bmod {1+i}}$

для всех целых $a,b$

На самом деле, 2 — это единственное простое, которое разветвляется в $\mathbb {Z} [i]$, так как каждое разветвляющееся простое должно делить дискриминант $\mathbb {Z} [i]$, который равен $-4$.

Простые p ≡ 1 mod 4

Любое простое $p\equiv 1{\pmod {4}}$ разлагается в произведение двух различных простых идеалов в $\mathbb {Z} [i]$; это фактически теорема Ферма о сумме двух квадратов. Например:

$13=(2+3i)(2-3i)=2^{2}+3^{2}$

Обе группы разложения в этом случае тривиальны: $G_{2\pm 3i}\{1\}$, поскольку автоморфизм $\sigma$ переставляет $(2+3i)$ и $(2-3i)$, поэтому $\sigma \not \in G_{2\pm 3i}$. Группа инерции, также является тривиальной группой как подгруппа группы разложения. Существует два поля вычетов: по одному для каждого простого:

$O_{L}/(2\pm 3i)O_{L}\,$

которые изоморфны $\mathbb {F} _{13}$. Элемент Фробениуса будет тривиальным автоморфизмом, это означает, что

$(a+bi)^{13}\equiv a+bi{\pmod {2\pm 3i}}$

для всех $a,b\in \mathbb {Z}$

Простые p ≡ 3 mod 4

Любое простое $p:p\equiv 3{\pmod {4}}$, например $7$, остается простым, инертным, в $\mathbb {Z} [i]$, то есть не разлагается. В этой ситуации группа разложения $G_{7}=G$, потому что $\sigma (7)=7$. Однако эта ситуация отличается от случая $p=2$, потому что теперь $\sigma$ не действует тривиально на поле вычетов $O_{L}/(7)O_{L}\cong \mathbb {F} _{7^{2}}$. Например, $1+i\not \equiv 1-i{\pmod {7}}$. Следовательно, группа инерции тривиальна: $I_{7}=\{1\}$. Группа Галуа $O_{L}/(7)O_{L}$ над подполем $\mathbb {Z} /7\mathbb {Z}$ имеет порядок 2 и порождается образом элемента Фробениуса. Фробениус — это не что иное, как $\sigma$ это значит, что

$(a+bi)^{7}\equiv a-bi{\bmod {7}}$

для всех $a,b\in \mathbb {Z}$

Сводка

Простое в $\mathbb {Z}$	Как разлагается в $\mathbb {Z} [i]$	Группа инерции	Группа разложения
$p=2$	Разветвляется с индексом 2	$G$	$G$
$p\equiv 1{\pmod {4}}$	Разлагается на 2 различных простых множителя	$\{1\}$	$\{1\}$
$p\equiv 3{\pmod {4}}$	Инертно, остается простым	$\{1\}$	$G$

Вычисление факторизации идеала

Предположим, что мы хотим разложить простой идеал $P$ кольца $O_{K}$ в простые идеалы кольца $O_{L}$. Следующая процедура (Neukirch, стр. 47) решает эту проблему во многих случаях. Стратегия состоит в том, чтобы выбрать целое число $\theta \in O_{L}$, такое что $L=K(\theta )$ (такое $\theta$ существует по теореме о примитивном элементе), а затем изучить минимальный многочлен $H(X)$ элемента $\theta$ над $K$. Редуцируя коэффициенты $H(X)$ по модулю $P$, получим многочлен $h(X)$ с коэффициентами из конечного поля $F=O_{K}/P$. Предположим, что $h(X)$ факторизуется в полиномиальном кольце $F[X]$ как

$h(X)=h_{1}(X)^{e_{1}}\cdots h_{n}(X)^{e_{n}},$

где $h_{j}$ — различные неприводимые многочлены в $F[X]$. Тогда, если $P$ не является одним из конечного числа исключительных простых чисел (точное условие описано ниже), разложение $P$ имеет следующий вид:

$PO_{L}=Q_{1}^{e_{1}}\cdots Q_{n}^{e_{n}},$

где $Q_{j}$ — различные простые идеалы $O_{L}$. Кроме того, степень инерции каждого $Q_{j}$ равна степени соответствующего многочлена $h_{j}$, и существует явная формула для $Q_{j}$:

$Q_{j}=PO_{L}+h_{j}(\theta )O_{L},$

где $h_{j}$ обозначает здесь подъём многочлена $h_{j}$ в $K[X]$.

В случае расширения Галуа степени инерции равны, а индексы ветвления $e_{1}=...=e_{n}$.

Исключительные простые числа, для которых приведенный выше результат не всегда имеет место, являются теми, которые не являются взаимно простыми по отношению к кондуктору кольца $O_{K}[\theta ]$. Кондуктор определяется как идеал

$\{y\in O_{L}:yO_{L}\subseteq O_{K}[\theta ]\};$

он измеряет, насколько порядок $O_{K}[\theta ]$ является полным кольцом целых чисел (максимальный порядок) $O_{L}$.

Существенным препятствием является то, что существуют такие $L/K$ и $P$, для которых нет $\theta$, удовлетворяющего вышеприведенным гипотезам (см., например,). Поэтому приведенный выше алгоритм нельзя использовать для определения такого $P$, и необходимо использовать более сложные подходы, такие как описанные в.

Пример расчёта

Рассмотрим снова случай гауссовых целых чисел. Мы возьмем $\theta =i$ — мнимую единицу $H(X)=X^{2}+1$. Так как $\mathbb {Z} [i]$ — кольцо целых чисел $\mathbb {Q} (i)$, кондуктор является единичным идеалом, поэтому нет исключительных простых чисел.

Для $P=(2)$ нам нужно работать в поле $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$, что сводится к разложению многочлена $X^{2}+1$ по модулю 2:

$X^{2}+1=(X+1)^{2}{\pmod {2}}.$

Поэтому существует только один простой множитель с степенью инерции 1 и индексом ветвления 2, и он задается формулой

$Q=(2)\mathbb {Z} [i]+(i+1)\mathbb {Z} [i]=(1+i)\mathbb {Z} [i].$

Следующий случай для $P=(p)$ для простого $p\equiv 3{\pmod {4}}$. Например, возьмем $P=(7)$. Многочлен $X^{2}+1$ неприводим по модулю 7. Поэтому существует только один простой множитель с степенью инерции 2 и индексом ветвления 1 и он задается формулой

$Q=(7)\mathbb {Z} [i]+(i^{2}+1)\mathbb {Z} [i]=7\mathbb {Z} [i].$

Последний случай — $P=(p)$ для простого $p\equiv 1{\pmod {4}}$; мы снова возьмем $P=(13)$. На этот раз мы имеем разложение

$X^{2}+1=(X+5)(X-5){\pmod {13}}.$

Поэтому существуют два основных множителя, как с степенью инерции, так и с индексом ветвления равным 1. Они даются выражением

$Q_{1}=(13)\mathbb {Z} [i]+(i+5)\mathbb {Z} [i]=\cdots =(2+3i)\mathbb {Z} [i]$

and

$Q_{2}=(13)\mathbb {Z} [i]+(i-5)\mathbb {Z} [i]=\cdots =(2-3i)\mathbb {Z} [i].$

Ссылки

• PlanetMath, Splitting and ramification in number fields and Galois extensions
• William Stein, A brief introduction to classical and adelic algebraic number theory

Литература

• Айерленд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. — М.: Мир, 1987. — 428 с.