Теоремы Силова

В теории групп теоремы Си́лова представляют собой неполный вариант обратной теоремы к теореме Лагранжа и для некоторых делителей порядка группы G гарантируют существование подгрупп такого порядка. Теоремы доказаны норвежским математиком Петером-Людвигом Силовом в 1872 г.

Определения

Пусть $G$ — конечная группа, а $p$ — простое число, которое делит порядок $G$. Подгруппы порядка $p^{t}$ называются $p$-подгруппами.

Выделим из порядка группы $G$ максимальную степень $p$, то есть $|G|=p^{n}s$, где $s$ не делится на $p$. Тогда силовской $p$-подгруппой называется подгруппа $G$, имеющая порядок $p^{n}$.

Теоремы

Пусть $G$ — конечная группа. Тогда:

1. Силовская $p$-подгруппа существует.
2. Всякая $p$-подгруппа содержится в некоторой силовской $p$-подгруппе. Все силовские $p$-подгруппы сопряжены (то есть каждая представляется в виде $gPg^{-1}$, где $g$ — элемент группы, а $P$ — силовская подгруппа из теоремы 1).
3. Количество силовских $p$-подгрупп $N_{p}$ сравнимо с единицей по модулю $p$ ($N_{p}\equiv 1\;{\rm {mod\,}}p$) и делит $s$, где $|G|=p^{k}s$ и $(p,s)=1$.

Следствие

Если все делители $|G|$, кроме 1, после деления на $p$ дают остаток, отличный от единицы, то в $G$ есть единственная силовская $p$-подгруппа и она является нормальной (и даже характеристической).

Например: Докажем, что группа порядка 350 не может быть простой. $350=2\cdot 5^{2}\cdot 7$, значит, силовская 5-подгруппа имеет порядок 25. $N_{5}$ должно делить 14 и сравнимо с 1 по модулю 5. Этим условиям удовлетворяет только единица. Значит, в $G$ одна силовская 5-подгруппа, а значит, она нормальна, и поэтому $G$ не может быть простой.

Доказательства

Пусть $p^{n}$ — примарный по $p$ делитель порядка $G$.

1. Докажем теорему индукцией по порядку $G$. При $|G|=p$ теорема верна. Пусть теперь $|G|>p$. Пусть $Z(G)$ — центр группы $G$. Возможны два случая:

а) $p$ делит $|Z|$. Тогда в центре существует циклическая группа $\langle a\rangle _{p^{k}}$ (как элемент примарного разложения центра), которая нормальна в $G$. Факторгруппа $G$ по этой циклической группе имеет меньший порядок, чем $G$, значит, по предположению индукции, в ней существует силовская $p$-подгруппа. Рассмотрим её прообраз в $G$. Он и будет нужной нам силовской $p$-подгруппой $G$.

б) $p$ не делит $|Z|$. Тогда рассмотрим разбиение $G$ на классы сопряжённости: $|G|=|Z|+\sum |K_{a}|$ (поскольку если элемент лежит в центре, то его класс сопряжённости состоит из него одного). Порядок $G$ делится на $p$, значит, должен найтись класс $K_{a}$, порядок которого не делится на $p$. Соответствующий ему централизатор $Z_{G}(a)$ имеет порядок $p^{n}r$, $r<s$. Значит, по предположению индукции, в нём найдётся силовская $p$-подгруппа — она и будет искомой.

2. Пусть $H$ — произвольная $p$-подгруппа $G$. Рассмотрим её действие на множестве левых классов смежности $G/P$ левыми сдвигами, где $P$ — силовская $p$-подгруппа. Число элементов любой нетривиальной орбиты должно делиться на $p$. Но $|G/P|$ не делится на $p$, значит, у действия есть неподвижная точка $gP$. Получаем $\forall h\in H\quad hga=ga',\quad a,a'\in P$, а значит, $h=ga'a^{-1}g^{-1}\in gPg^{-1}$, то есть $H$ лежит целиком в некоторой силовской $p$-подгруппе.

Если при этом $H$ — силовская $p$-подгруппа, то она сопряжена с $P$.

3. Количество силовских p-подгрупп есть [G:N_G(P)], значит, оно делит |G|. По теореме 2, множество всех силовских p-подгрупп есть X = {gPg^-1}. Рассмотрим действие P на X сопряжениями. Пусть при этом действии H из X — неподвижная точка. Тогда P и H принадлежат нормализатору подгруппы H и при этом сопряжены в N_G(H) как его силовские p-подгруппы. Но H нормальна в своём нормализаторе, значит, H = P и единственная неподвижная точка действия — это P. Поскольку порядки всех нетривиальных орбит кратны p, получаем $N_{p}\equiv 1{\pmod {p}}$.

Нахождение силовской подгруппы

Проблема нахождения силовской подгруппы данной группы является важной задачей вычислительной теории групп. Для групп перестановок Уильям Кантор доказал, что силовская p-подгруппа может быть найдена за время, полиномиальное от размера задачи (в данном случае это порядок группы, помноженный на количество порождающих элементов).

Литература

• А. И. Кострикин. Введение в алгебру. Ч. III. М.: Физматлит, 2001.
• Э. Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал-Пресс, 2002.