Подпространство: различия между версиями
Перейти к навигации
Перейти к поиску
[отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
→Примеры: Повышаем связность |
|||
Строка 9: | Строка 9: | ||
* Непустое подмножество <math>L' \subset L</math> векторного (линейного) пространства <math>L</math> над [[Поле (алгебра)|полем]] <math>F</math> является векторным (линейным) подпространством, если выполнены два свойства: для всяких векторов <math>x,y \in L'</math> сумма <math>x+y \in L'</math> и для всякого вектора <math>x \in L'</math> и любого <math>\alpha\in F</math> вектор <math>\alpha x \in L'</math>. В частности, подпространство <math>L'</math> обязательно содержит нулевой вектор пространства <math>L</math> (он также является нулевым вектором пространства <math>L'</math>). |
* Непустое подмножество <math>L' \subset L</math> векторного (линейного) пространства <math>L</math> над [[Поле (алгебра)|полем]] <math>F</math> является векторным (линейным) подпространством, если выполнены два свойства: для всяких векторов <math>x,y \in L'</math> сумма <math>x+y \in L'</math> и для всякого вектора <math>x \in L'</math> и любого <math>\alpha\in F</math> вектор <math>\alpha x \in L'</math>. В частности, подпространство <math>L'</math> обязательно содержит нулевой вектор пространства <math>L</math> (он также является нулевым вектором пространства <math>L'</math>). |
||
* Векторное подпространство <math>L' \subset L</math> называется ''собственным'' подпространством, если <math>L' \neq L</math> и <math>L'</math> содержит хотя бы один ненулевой вектор. |
*[[Линейное подпространство|Векторное подпространство]] <math>L' \subset L</math> называется ''собственным'' подпространством, если <math>L' \neq L</math> и <math>L'</math> содержит хотя бы один ненулевой вектор. |
||
* Векторное подпространство <math>L' \subset L</math> называется ''[[Инвариантное подпространство|инвариантным подпространством]]'' [[Линейное отображение|линейного отображения]] <math>A : L \to L</math>, если <math>A(L') \subset L'</math>, то есть <math>A(x) \in L'</math> для любого вектора <math>x \in L'</math>. Если <math>\lambda</math> — [[Собственный вектор|собственное значение]] отображения <math>A</math>, то все векторы <math>e \in L</math>, удовлетворяющие соотношению <math>A(e) = \lambda e</math> (включая и нулевой вектор), образуют инвариантное подпространство отображения <math>A</math>. Оно называется ''собственным подпространством, соответствующим данному собственному значению'' <math>\lambda</math>. |
* Векторное подпространство <math>L' \subset L</math> называется ''[[Инвариантное подпространство|инвариантным подпространством]]'' [[Линейное отображение|линейного отображения]] <math>A : L \to L</math>, если <math>A(L') \subset L'</math>, то есть <math>A(x) \in L'</math> для любого вектора <math>x \in L'</math>. Если <math>\lambda</math> — [[Собственный вектор|собственное значение]] отображения <math>A</math>, то все векторы <math>e \in L</math>, удовлетворяющие соотношению <math>A(e) = \lambda e</math> (включая и нулевой вектор), образуют инвариантное подпространство отображения <math>A</math>. Оно называется ''собственным подпространством, соответствующим данному собственному значению'' <math>\lambda</math>. |
Версия от 23:58, 31 июля 2019
Подпростра́нство — понятие, используемое (непосредственно или в словосочетаниях) в различных разделах математики.
Подпространство — подмножество некоторого пространства (аффинного, векторного, проективного, топологического, метрического и так далее), которое само является пространством соответствующего типа со свойствами, индуцированными объемлющим пространством.
Приставка «под» используется в том же смысле для других математических объектов, например подграф, подгруппа, подкатегория и так далее.
Примеры
- Непустое подмножество векторного (линейного) пространства над полем является векторным (линейным) подпространством, если выполнены два свойства: для всяких векторов сумма и для всякого вектора и любого вектор . В частности, подпространство обязательно содержит нулевой вектор пространства (он также является нулевым вектором пространства ).
- Векторное подпространство называется собственным подпространством, если и содержит хотя бы один ненулевой вектор.
- Векторное подпространство называется инвариантным подпространством линейного отображения , если , то есть для любого вектора . Если — собственное значение отображения , то все векторы , удовлетворяющие соотношению (включая и нулевой вектор), образуют инвариантное подпространство отображения . Оно называется собственным подпространством, соответствующим данному собственному значению .
- Подпространство евклидова векторного пространства также является евклидовым пространством, но подпространство псевдоевклидова векторного пространства может быть и псевдоевклидовым (другой сигнатуры), и евклидовым пространством, а также может быть вырожденным или изотропным[1].
- Подпространство метрического пространства с метрикой обладает индуцированной метрикой , которая определена формулой для любых [2].
- Подпространство топологического пространства с топологией обладает индуцированной топологией , открытыми множествами в которой являются множества , где — всевозможные открытые множества в топологии [2].
- Пусть — проективное пространство, состоящее из прямых векторного пространства , и — векторное подпространство. Тогда проективное пространство является проективным подпространством[3].
Примечания
- ↑ Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009 (гл. 7, пар. 7)
- ↑ 1 2 Зорич В. А. Математический анализ. — Любое издание, том 2, гл. IX.
- ↑ Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Любое издание, гл. IX, пар. 1.
Это заготовка статьи по математике. Помогите Википедии, дополнив её. |