Единичный круг: различия между версиями
[отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
CYCC (обсуждение | вклад) |
CYCC (обсуждение | вклад) |
||
Строка 23: | Строка 23: | ||
{{main|Модель Пуанкаре}} |
{{main|Модель Пуанкаре}} |
||
Оказывается, что конформные автоморфизмы круга можно рассматривать и как метрические, но если рассмотреть на круге особую (неевклидову) [[метрический тензор|метрику]] — ''метрику Пуанкаре'': |
Оказывается, что конформные автоморфизмы круга можно рассматривать и как метрические, но если рассмотреть на круге особую (неевклидову) [[метрический тензор|метрику]] — ''метрику Пуанкаре'': |
||
:<math>ds^2 = 4 \frac{dz |
:<math>ds^2 = 4 \frac{dz\,d{\bar z}}{(1-|z|^2)^2} = 4 \frac{dx^2+dy^2}{(1-x^2-y^2)^2}.</math> |
||
Круг оказывается, таким образом, моделью [[плоскость Лобачевского|плоскости Лобачевского]]. |
Круг оказывается, таким образом, моделью [[плоскость Лобачевского|плоскости Лобачевского]]. |
||
Версия от 15:48, 24 октября 2008
Единичный круг — круг радиуса 1, рассматриваемый обычно на комплексной плоскости; «идиоматическая» область в комплексном анализе.
Определение
Единичный круг — открытое подмножество комплексной плоскости, задаваемое неравенством
- или (что тоже самое), .
В действительных координатах неравенство выглядит как:
- .
Круг связен и односвязен (например, в силу выпуклости). Границей единичного круга является единичная окружность.
Единичный круг обычно обозначается как или .
Автоморфизмы единичного круга
С точки зрения конформных отображений, автоморфизмы единичного круга составляют 3-мерную группу Ли, состоящую из дробно-линейных отображений специального вида:
Две степени свободы b обеспечиваются возможностью отобразить 0 (центр) в произвольную точку круга, а одна () — поворотами.
С точки зрения евклидовой геометрии, разумеется, кроме поворотов у круга автоморфизмов (движений) нет.
Модель Пуанкаре
Оказывается, что конформные автоморфизмы круга можно рассматривать и как метрические, но если рассмотреть на круге особую (неевклидову) метрику — метрику Пуанкаре:
Круг оказывается, таким образом, моделью плоскости Лобачевского.
Круг или полуплоскость?
С точки зрения комплексного анализа, в принципе, нет разницы, которую из односвязных областей на плоскости рассматривать — по теореме Римана они все эквивалентны (кроме самой плоскости). Чаще всего используют единичный круг и верхнюю полуплоскость. И единичный круг, и полуплоскость можно рассматривать как половинки сферы Римана, разрезанной большой окружностью.
Однако, для исследований связанных со степенными рядами удобнее рассматривать именно круги (см. круг сходимости).
Другие значения
В принципе, «единичным кругом» можно назвать круг единичного радиуса с центром не обязательно в нуле (начале координат), и не на евклидовой плоскости.
Это заготовка статьи по математике. Помогите Википедии, дополнив её. |