Уравнения Эйнштейна: различия между версиями
[отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Addbot (обсуждение | вклад) м 30 интервики-ссылок перенесено на Викиданные, d:q273711 |
V1adis1av (обсуждение | вклад) Нет описания правки |
||
Строка 1: | Строка 1: | ||
{{ |
{{ОТО}} |
||
'''Уравне́ния Эйнште́йна''' (иногда встречается название «'''уравнения Эйнштейна |
'''Уравне́ния Эйнште́йна''' (иногда встречается название «'''уравнения Эйнштейна — Гильберта'''»<ref name=E>Сам [[Гильберт, Давид|Гильберт]] никогда не претендовал на авторство этих уравнений и безоговорочно признавал приоритет Эйнштейна. См. подробности в статье: [[Эйнштейн, Альберт#Гильберт и уравнения гравитационного поля]].</ref>) — уравнения [[Гравитация|гравитационного поля]] в [[общая теория относительности|общей теории относительности]], связывающие между собой метрику искривлённого [[Пространство-время|пространства-времени]] со свойствами заполняющей его [[материя (физика)|материи]]. Термин используется и в единственном числе: «'''уравне́ние Эйнште́йна'''», так как в [[Тензорное исчисление|тензорной записи]] это одно уравнение, хотя в компонентах представляет собой систему уравнений в частных производных. |
||
Выглядят уравнения следующим образом: |
Выглядят уравнения следующим образом: |
||
: <math>R_{ |
: <math>R_{\mu\nu} - {R \over 2} g_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = {8 \pi G \over c^4} T_{\mu\nu},</math> |
||
где <math>R_{ |
где <math>R_{\mu\nu}</math> — [[тензор Риччи]], получающийся из [[тензор кривизны|тензора кривизны]] пространства-времени <math>R_{abcd}</math> посредством [[свёртка тензора|свёртки]] его по паре [[Индекс оператора|индексов]], {{math|''R''}} — [[скалярная кривизна]], то есть свёрнутый тензор Риччи, <math>g_{\mu\nu}</math> — [[метрический тензор]], <math>\Lambda</math> — [[космологическая постоянная]], а <math>T_{\mu\nu}</math> представляет собой [[тензор энергии-импульса]] материи, ({{math|π}} — число [[пи]], {{math|''c''}} — [[скорость света]] в вакууме, {{math|''G''}} — [[гравитационная постоянная]] Ньютона). |
||
Уравнение связывает между собой тензоры 4×4, то есть, формально говоря, содержит 16 уравнений. Однако, так как все входящие в уравнения тензоры [[симметрия|симметричны]], то в четырёхмерном пространстве-времени эти уравнения равносильны 4·(4+1)/2=10 [[скаляр]]ным уравнениям. [[Тождества Бьянки]] приводят к уменьшению числа независимых уравнений с 10 до 6. |
|||
⚫ | |||
В более краткой записи |
|||
: <math>G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = {8 \pi G \over c^4} T_{\mu\nu},</math> |
|||
где <math>G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - {R \over 2} g_{\mu\nu}</math> — [[тензор Эйнштейна]], который объединяет тензор Риччи, скалярную кривизну и метрический тензор. Тензор Эйнштейна может быть представлен как функция метрического тензора и его частных производных. |
|||
Часто лямбда-член {{math|Λ''g''<sub>μν</sub>}} в записи уравнений Эйнштейна принимается равным нулю, поскольку в задачах локальных масштабов, далёких от космологических, он, как правило, мал. Тогда запись ещё более упрощается: |
|||
: <math>G_{\mu\nu} = {8 \pi G \over c^4} T_{\mu\nu}.</math> |
|||
Наконец, при часто использующемся выборе единиц физических величин таким образом, чтобы скорость света и гравитационная постоянная равнялись безразмерной единице, {{math|''c'' {{=}} ''G'' {{=}} 1}} (т.н. ''геометризованная'' система единиц), запись уравнений Эйнштейна становится наиболее простой; в бескомпонентной форме: |
|||
: <math>\mathbf{G} = 8 \pi \mathbf{T}.</math> |
|||
Таким образом, уравнение Эйнштейна связывает геометрию пространства-времени (левая часть уравнения) с материей и её движением (правая часть). |
|||
⚫ | |||
== Исторический очерк == |
== Исторический очерк == |
||
Работа [[Эйнштейн, Альберт|Эйнштейна]] над теорией гравитации (общей теорией относительности), в одиночку и в соавторстве с рядом людей, длилась с [[1907 год]]а по [[1917 год]]. В середине этих усилий Эйнштейн понимает, что роль гравитационного потенциала должен играть псевдо-риманов [[метрический тензор]] на четырёхмерном пространстве-времени, а уравнение гравитационного поля должно быть тензорным, включающим тензор римановой кривизны и тензор энергии-импульса в качестве источника поля, сводясь в пределе малых энергий и стационарных полей к [[уравнение Пуассона|уравнению Пуассона]] ньютоновской теории гравитации. Затем, в [[1913 год в науке|1913 году]] вместе с [[Гроссман, Марсель|Гроссманом]] получает первый вариант таких уравнений (уравнения Эйнштейна |
Работа [[Эйнштейн, Альберт|Эйнштейна]] над теорией гравитации (общей теорией относительности), в одиночку и в соавторстве с рядом людей, длилась с [[1907 год]]а по [[1917 год]]. В середине этих усилий Эйнштейн понимает, что роль гравитационного потенциала должен играть псевдо-риманов [[метрический тензор]] на четырёхмерном пространстве-времени, а уравнение гравитационного поля должно быть тензорным, включающим тензор римановой кривизны и тензор энергии-импульса в качестве источника поля, сводясь в пределе малых энергий и стационарных полей к [[уравнение Пуассона|уравнению Пуассона]] ньютоновской теории гравитации. Затем, в [[1913 год в науке|1913 году]] вместе с [[Гроссман, Марсель|Гроссманом]] получает первый вариант таких уравнений (уравнения Эйнштейна — Гроссмана), совпадающий с правильным только для отсутствия вещества (или для вещества с бесследовым тензором энергии-импульса). |
||
Летом [[1915 год в науке|1915 года]] Эйнштейн приехал в [[Гёттингенский университет]], где прочитал ведущим математикам того времени, в числе которых был и [[Гильберт, Давид|Гильберт]], лекции о важности построения физической теории гравитации и имевшихся к тому времени у него наиболее перспективных подходах к решению проблемы и её трудностях. Между Эйнштейном и Гильбертом завязалась переписка с обсуждением данной темы, которая значительно ускорила завершение работы по выводу окончательных уравнений поля. До недавнего времени считалось, что Гильберт получил эти уравнения на 5 дней раньше, но опубликовал позже: Эйнштейн представил в Берлинскую академию свою работу, содержащую правильный вариант уравнений, 25 ноября, а заметка Гильберта «Основания физики» была озвучена [[20 ноября]] [[1915 год]]а на докладе в Гёттингенском математическом обществе и передана Королевскому научному обществу в Гёттингене, за 5 дней до Эйнштейна (опубликована в [[1916 год]]у). Однако в [[1997 год]]у была обнаружена корректура статьи Гильберта от 6 декабря, из которой видно, что Гильберт выписал уравнения поля в классическом виде не на 5 дней раньше, а на 4 месяца позже Эйнштейна<ref>''Визгин В. П.'' [http://ufn.ru/ru/articles/2001/12/d/ Об открытии уравнений гравитационного поля Эйнштейном и Гильбертом (новые материалы)]. УФН, Том 171 № |
Летом [[1915 год в науке|1915 года]] Эйнштейн приехал в [[Гёттингенский университет]], где прочитал ведущим математикам того времени, в числе которых был и [[Гильберт, Давид|Гильберт]], лекции о важности построения физической теории гравитации и имевшихся к тому времени у него наиболее перспективных подходах к решению проблемы и её трудностях. Между Эйнштейном и Гильбертом завязалась переписка с обсуждением данной темы, которая значительно ускорила завершение работы по выводу окончательных уравнений поля. До недавнего времени считалось, что Гильберт получил эти уравнения на 5 дней раньше, но опубликовал позже: Эйнштейн представил в Берлинскую академию свою работу, содержащую правильный вариант уравнений, 25 ноября, а заметка Гильберта «Основания физики» была озвучена [[20 ноября]] [[1915 год]]а на докладе в Гёттингенском математическом обществе и передана Королевскому научному обществу в Гёттингене, за 5 дней до Эйнштейна (опубликована в [[1916 год]]у). Однако в [[1997 год]]у была обнаружена корректура статьи Гильберта от 6 декабря, из которой видно, что Гильберт выписал уравнения поля в классическом виде не на 5 дней раньше, а на 4 месяца позже Эйнштейна<ref>''Визгин В. П.'' [http://ufn.ru/ru/articles/2001/12/d/ Об открытии уравнений гравитационного поля Эйнштейном и Гильбертом (новые материалы)]. УФН, Том 171 № 12 (2001), стр. 1347—1363.</ref>. В ходе завершающей правки Гильберт также вставил в свою статью ссылки на параллельную декабрьскую работу Эйнштейна<ref name=E/>. |
||
Сначала уравнения Эйнштейна решались приближённо, в частности, из них были выведены как классическая теория [[Ньютон, Исаак|Ньютона]], так и поправки к ней. Первые точные решения были получены [[Метрика Шварцшильда|Шварцшильдом]] для центрально-симметричного случая. Ряд решений был вскоре выведен в рамках релятивистской [[Космология|космологии]]. |
Сначала уравнения Эйнштейна решались приближённо, в частности, из них были выведены как классическая теория [[Ньютон, Исаак|Ньютона]], так и поправки к ней. Первые точные решения были получены [[Метрика Шварцшильда|Шварцшильдом]] для центрально-симметричного случая. Ряд решений был вскоре выведен в рамках релятивистской [[Космология|космологии]]. |
||
Строка 20: | Строка 38: | ||
== Решения == |
== Решения == |
||
{{main|Решения уравнений Эйнштейна}} |
{{main|Решения уравнений Эйнштейна}} |
||
'''Решить уравнение Эйнштейна''' |
'''Решить уравнение Эйнштейна''' — значит найти вид [[метрический тензор|метрического тензора]] {{math|''g''<sub>μν</sub>}} пространства-времени. Задача ставится заданием [[Граничные условия|граничных условий]], координатных условий и написанием [[тензор энергии-импульса|тензора энергии-импульса]] {{math|''T''<sub>μν</sub>}}, который может описывать как точечный массивный объект, распределённую материю или энергию, так и всю Вселенную целиком. В зависимости от вида тензора энергии-импульса '''решения уравнения Эйнштейна''' можно разделить на вакуумные, полевые, распределённые, космологические и волновые. Существуют также чисто математические классификации решений, основанные на топологических или алгебраических свойствах описываемого ими пространства-времени, или, например, на алгебраической симметрии [[тензор Вейля|тензора Вейля]] данного пространства ([[классификация Петрова]]). |
||
== См. также == |
== См. также == |
||
Строка 28: | Строка 46: | ||
== Литература == |
== Литература == |
||
* Альберт Эйнштейн и теория гравитации. Сборник статей. М.: Мир, 1979. |
* Альберт Эйнштейн и теория гравитации. Сборник статей. М.: Мир, 1979. |
||
* ''Визгин В. П.'' Релятивистская теория тяготения (истоки и формирование |
* ''Визгин В. П.'' Релятивистская теория тяготения (истоки и формирование 1900—1915). М.: Наука, 1981. |
||
* ''Крамер Д. и др.'' Точные решения уравнений Эйнштейна. М.: Мир, 1982. |
* ''Крамер Д. и др.'' Точные решения уравнений Эйнштейна. М.: Мир, 1982. — 416с. |
||
* {{Книга:Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.: Теория поля|1988}} |
* {{Книга:Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.: Теория поля|1988}} |
||
* ''Паули В.'' Теория относительности. М.: Наука, 1991. |
* ''Паули В.'' Теория относительности. М.: Наука, 1991. |
||
== Примечания == |
== Примечания == |
||
{{примечания}} |
|||
<references/> |
|||
[[Категория:Альберт Эйнштейн]] |
[[Категория:Альберт Эйнштейн]] |
Версия от 19:16, 8 июня 2013
Уравне́ния Эйнште́йна (иногда встречается название «уравнения Эйнштейна — Гильберта»[1]) — уравнения гравитационного поля в общей теории относительности, связывающие между собой метрику искривлённого пространства-времени со свойствами заполняющей его материи. Термин используется и в единственном числе: «уравне́ние Эйнште́йна», так как в тензорной записи это одно уравнение, хотя в компонентах представляет собой систему уравнений в частных производных.
Выглядят уравнения следующим образом:
где — тензор Риччи, получающийся из тензора кривизны пространства-времени посредством свёртки его по паре индексов, R — скалярная кривизна, то есть свёрнутый тензор Риччи, — метрический тензор, — космологическая постоянная, а представляет собой тензор энергии-импульса материи, (π — число пи, c — скорость света в вакууме, G — гравитационная постоянная Ньютона).
Уравнение связывает между собой тензоры 4×4, то есть, формально говоря, содержит 16 уравнений. Однако, так как все входящие в уравнения тензоры симметричны, то в четырёхмерном пространстве-времени эти уравнения равносильны 4·(4+1)/2=10 скалярным уравнениям. Тождества Бьянки приводят к уменьшению числа независимых уравнений с 10 до 6.
В более краткой записи
где — тензор Эйнштейна, который объединяет тензор Риччи, скалярную кривизну и метрический тензор. Тензор Эйнштейна может быть представлен как функция метрического тензора и его частных производных.
Часто лямбда-член Λgμν в записи уравнений Эйнштейна принимается равным нулю, поскольку в задачах локальных масштабов, далёких от космологических, он, как правило, мал. Тогда запись ещё более упрощается:
Наконец, при часто использующемся выборе единиц физических величин таким образом, чтобы скорость света и гравитационная постоянная равнялись безразмерной единице, c = G = 1 (т.н. геометризованная система единиц), запись уравнений Эйнштейна становится наиболее простой; в бескомпонентной форме:
Таким образом, уравнение Эйнштейна связывает геометрию пространства-времени (левая часть уравнения) с материей и её движением (правая часть).
Одним из существенных свойств уравнений Эйнштейна является их нелинейность, приводящая к невозможности использования при их решении принципа суперпозиции.
Исторический очерк
Работа Эйнштейна над теорией гравитации (общей теорией относительности), в одиночку и в соавторстве с рядом людей, длилась с 1907 года по 1917 год. В середине этих усилий Эйнштейн понимает, что роль гравитационного потенциала должен играть псевдо-риманов метрический тензор на четырёхмерном пространстве-времени, а уравнение гравитационного поля должно быть тензорным, включающим тензор римановой кривизны и тензор энергии-импульса в качестве источника поля, сводясь в пределе малых энергий и стационарных полей к уравнению Пуассона ньютоновской теории гравитации. Затем, в 1913 году вместе с Гроссманом получает первый вариант таких уравнений (уравнения Эйнштейна — Гроссмана), совпадающий с правильным только для отсутствия вещества (или для вещества с бесследовым тензором энергии-импульса).
Летом 1915 года Эйнштейн приехал в Гёттингенский университет, где прочитал ведущим математикам того времени, в числе которых был и Гильберт, лекции о важности построения физической теории гравитации и имевшихся к тому времени у него наиболее перспективных подходах к решению проблемы и её трудностях. Между Эйнштейном и Гильбертом завязалась переписка с обсуждением данной темы, которая значительно ускорила завершение работы по выводу окончательных уравнений поля. До недавнего времени считалось, что Гильберт получил эти уравнения на 5 дней раньше, но опубликовал позже: Эйнштейн представил в Берлинскую академию свою работу, содержащую правильный вариант уравнений, 25 ноября, а заметка Гильберта «Основания физики» была озвучена 20 ноября 1915 года на докладе в Гёттингенском математическом обществе и передана Королевскому научному обществу в Гёттингене, за 5 дней до Эйнштейна (опубликована в 1916 году). Однако в 1997 году была обнаружена корректура статьи Гильберта от 6 декабря, из которой видно, что Гильберт выписал уравнения поля в классическом виде не на 5 дней раньше, а на 4 месяца позже Эйнштейна[2]. В ходе завершающей правки Гильберт также вставил в свою статью ссылки на параллельную декабрьскую работу Эйнштейна[1].
Сначала уравнения Эйнштейна решались приближённо, в частности, из них были выведены как классическая теория Ньютона, так и поправки к ней. Первые точные решения были получены Шварцшильдом для центрально-симметричного случая. Ряд решений был вскоре выведен в рамках релятивистской космологии.
Решения
Решить уравнение Эйнштейна — значит найти вид метрического тензора gμν пространства-времени. Задача ставится заданием граничных условий, координатных условий и написанием тензора энергии-импульса Tμν, который может описывать как точечный массивный объект, распределённую материю или энергию, так и всю Вселенную целиком. В зависимости от вида тензора энергии-импульса решения уравнения Эйнштейна можно разделить на вакуумные, полевые, распределённые, космологические и волновые. Существуют также чисто математические классификации решений, основанные на топологических или алгебраических свойствах описываемого ими пространства-времени, или, например, на алгебраической симметрии тензора Вейля данного пространства (классификация Петрова).
См. также
Литература
- Альберт Эйнштейн и теория гравитации. Сборник статей. М.: Мир, 1979.
- Визгин В. П. Релятивистская теория тяготения (истоки и формирование 1900—1915). М.: Наука, 1981.
- Крамер Д. и др. Точные решения уравнений Эйнштейна. М.: Мир, 1982. — 416с.
- Шаблон:Книга:Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.: Теория поля
- Паули В. Теория относительности. М.: Наука, 1991.
Примечания
- ↑ 1 2 Сам Гильберт никогда не претендовал на авторство этих уравнений и безоговорочно признавал приоритет Эйнштейна. См. подробности в статье: Эйнштейн, Альберт#Гильберт и уравнения гравитационного поля.
- ↑ Визгин В. П. Об открытии уравнений гравитационного поля Эйнштейном и Гильбертом (новые материалы). УФН, Том 171 № 12 (2001), стр. 1347—1363.