Дисперсия случайной величины: различия между версиями
[отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Строка 77: | Строка 77: | ||
* Если <math>X = X(\omega, \tau)</math> - случайная величина от пары элементарных событий (случайная величина на декартовом произведении вероятностных пространств), то |
* Если <math>X = X(\omega, \tau)</math> - случайная величина от пары элементарных событий (случайная величина на декартовом произведении вероятностных пространств), то |
||
*: <math>D_{(\omega,\tau)}[X] = M_{\omega}[D_{\tau}[X]] + D_{\omega}[M_{\tau}[X]]</math> |
*: <math>D_{(\omega,\tau)}[X] = M_{\omega}[D_{\tau}[X]] + D_{\omega}[M_{\tau}[X]]</math> |
||
* Если <math>X, Y</math> - две числовые случайные величины, а <math>M[X|Y], D[X|Y]</math> - условное математическое ожидание и условная дисперсия величины <math>X</math> относительно величины <math>Y</math>, тогда |
|||
== Условная дисперсия == |
|||
⚫ | |||
Наряду с условным математическим ожиданием <math>M[X|Y]</math> в теории случайных процессов используется условная дисперсия случайных величин <math>D[X|Y]</math>. |
|||
Условной дисперсией случайной величины <math>X</math> относительно случайной величины <math>Y</math> называется случайная величина |
|||
: <math>D[X|Y] = M[(X-M[X|Y])^2|Y] = M[X^2|Y] - M[X|Y]^2</math> |
|||
Её свойства: |
|||
* Условная дисперсия относительно случайной величины <math>Y</math> является Y-измеримой случайной величиной (то есть измерима относительно [[сигма-алгебра|сигма-алгебры]], порождённой случайной величиной <math>Y</math>); |
|||
* Условная дисперсия неотрицательна: <math>D[X|Y]\geqslant 0</math>; |
|||
* Условная дисперсия <math>D[X|Y]</math> равна нулю тогда и только тогда, когда <math>X = M[X|Y]</math> почти наверное, то есть тогда и только тогда, когда <math>X</math> совпадает почти наверное с некоторой Y-измеримой величиной (а именно, с <math>M[X|Y]</math>); |
|||
* Обычная дисперсия также может быть представлена как условная: <math>D[X] = D[X|1]</math>; |
|||
* Если величины <math>X</math> и <math>Y</math> независимы, случайная величина <math>D[X|Y]</math> является константой, равной <math>D[X]</math>. |
|||
* Если <math>X, Y</math> - две числовые случайные величины, то |
|||
⚫ | |||
:откуда, в частности, следует, что дисперсия условного математического ожидания <math>M[X|Y]</math> всегда меньше или равна дисперсии исходной случайной величины <math>X</math>. |
|||
== Пример == |
== Пример == |
Версия от 10:03, 28 марта 2019
Диспе́рсия случа́йной величины́ — мера разброса значений случайной величины относительно её математического ожидания. Обозначается в русской литературе и (англ. variance) в зарубежной. В статистике часто употребляется обозначение или .
Квадратный корень из дисперсии, равный , называется среднеквадрати́ческим отклоне́нием, станда́ртным отклоне́нием или стандартным разбросом. Стандартное отклонение измеряется в тех же единицах, что и сама случайная величина, а дисперсия измеряется в квадратах этой единицы измерения.
Из неравенства Чебышёва следует, что вероятность того, что значения случайной величины отстоят от математического ожидания этой случайной величины более чем на стандартных отклонений, составляет менее . В специальных случаях оценка может быть усилена. Так, например, как минимум в 95 % случаев значения случайной величины, имеющей нормальное распределение, удалены от её среднего не более чем на два стандартных отклонения, а в примерно 99,7 % — не более чем на три.
Определение
Дисперсией случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания.
Пусть — случайная величина, определённая на некотором вероятностном пространстве. Тогда дисперсией называется
где символ обозначает математическое ожидание[1][2].
Замечания
В разделе не хватает ссылок на источники (см. рекомендации по поиску). |
- Если случайная величина дискретная, то
- ,
- ,
где — -ое значение случайной величины, — вероятность того, что случайная величина принимает значение , — количество значений случайной величины.
- Если случайная величина непрерывна, то:
- ,
- ,
где — плотность вероятности случайной величины.
- В силу линейности математического ожидания, справедлива формула:
- Дисперсия является вторым центральным моментом случайной величины;
- Дисперсия может быть бесконечной.
- Дисперсия может быть вычислена с помощью производящей функции моментов :
- Дисперсия целочисленной случайной величины может быть вычислена с помощью производящей функции последовательности.
- Удобная формула для вычисления смещённой оценки дисперсии (англ. biased sample variance) случайной величины по последовательности — реализаций этой случайной величины:
- где — несмещённая оценка .
- Для получения несмещённой оценки дисперсии (англ. unbiased sample variance) правую часть вышеуказанного равенства необходимо умножить на . Несмещённая оценка обозначается :
Свойства
В разделе не хватает ссылок на источники (см. рекомендации по поиску). |
- Дисперсия любой случайной величины неотрицательна:
- Если дисперсия случайной величины конечна, то конечно и её математическое ожидание;
- Если случайная величина равна константе, то её дисперсия равна нулю: Верно и обратное: если то почти всюду;
- Дисперсия суммы двух случайных величин равна:
- , где — их ковариация;
- Для дисперсии произвольной линейной комбинации нескольких случайных величин имеет место равенство:
- , где ;
- В частности, для любых независимых или некоррелированных случайных величин, так как их ковариации равны нулю;
- Если - случайная величина от пары элементарных событий (случайная величина на декартовом произведении вероятностных пространств), то
Условная дисперсия
Наряду с условным математическим ожиданием в теории случайных процессов используется условная дисперсия случайных величин .
Условной дисперсией случайной величины относительно случайной величины называется случайная величина
Её свойства:
- Условная дисперсия относительно случайной величины является Y-измеримой случайной величиной (то есть измерима относительно сигма-алгебры, порождённой случайной величиной );
- Условная дисперсия неотрицательна: ;
- Условная дисперсия равна нулю тогда и только тогда, когда почти наверное, то есть тогда и только тогда, когда совпадает почти наверное с некоторой Y-измеримой величиной (а именно, с );
- Обычная дисперсия также может быть представлена как условная: ;
- Если величины и независимы, случайная величина является константой, равной .
- Если - две числовые случайные величины, то
- ,
- откуда, в частности, следует, что дисперсия условного математического ожидания всегда меньше или равна дисперсии исходной случайной величины .
Пример
В разделе не хватает ссылок на источники (см. рекомендации по поиску). |
Пусть случайная величина имеет стандартное непрерывное равномерное распределение на то есть её плотность вероятности задана равенством
Тогда математическое ожидание квадрата случайной величины
и математическое ожидание случайной величины
Тогда дисперсия случайной величины
См. также
- Среднеквадратическое отклонение
- Моменты случайной величины
- Ковариация
- Выборочная дисперсия
- Независимость (теория вероятностей)
- Скедастичность
- Абсолютное отклонение
Примечания
- ↑ Колмогоров А. Н. Глава IV. Математические ожидания; §3. Неравенство Чебышева // Основные понятия теории вероятностей. — 2-е изд. — М.: Наука, 1974. — С. 63—65. — 120 с.
- ↑ Боровков А. А. Глава 4. Числовые характеристики случайных величин; §5. Дисперсия // Теория вероятностей. — 5-е изд. — М.: Либроком, 2009. — С. 93-94. — 656 с.
Литература
- Гурский Д., Турбина Е. Mathcad для студентов и школьников. Популярный самоучитель. — СПб.: Питер, 2005. — С. 340. — ISBN 5469005259.
- Орлов А. И. Дисперсия случайной величины // Математика случая: Вероятность и статистика — основные факты. — М.: МЗ-Пресс, 2004.