Теория Куммера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В алгебраической теории чисел теория Куммера дает описание некоторых видов расширений поля, состоящих в добавлении к исходному полю корня n-ой степени из его элемента. Теория была разработана Эрнстом Эдуардом Куммером около 1840-го года в его работе, связанной с теоремой Ферма.

При условии, что Характеристика поля p взаимно проста с n при p > 0, основное утверждение теории не зависит от природы поля, и, поэтому, относится к общей алгебре.

Теория Куммера, имеет аналог для случая n=р (теория Артина - Шрейера). Роль группы \mu_n (см. ниже) в этом случае играет аддитивная группа простого подполя \mathbb{F}_p исходного поля.

Существует также принадлежащее Э. Витту (Е. Witt) обобщение этой теории для случая n=p^s, где s>1, использующее векторы Витта .

Теория Куммера является базовой, например, в теории полей классов и в понимании абелевых расширений. Она утверждает, что при наличии достаточного числа корней из единицы, циклические расширения могут быть поняты в терминах выделения корней.

Расширения Куммера[править | править исходный текст]

Расширение Куммера — это расширение поля L/K (то есть вложение поля K в поле L), такое что для некоторого целого n > 1 выполняются следующие два условия:

Например, для n = 2, первое условие всегда верно если характеристика K ≠ 2. Расширения Куммера в этом случае включают квадратичные расширения L = K(√a), где a в K не является квадратом. При решении квадратных уравнений любое расширение K степени 2 имеет такой вид. Расширение Куммера включает в этом случае также биквадратные расширения и, обобщенно, мультиквадратные расширения. При характеристике K, равной 2, такие расширения Куммера отсутствуют.

При n = 3, не существует расширений Куммера степени 3 в поле рациональных чисел Q, поскольку нужны три кубических корня из 1, так что нужны комплексные числа. Если L — поле разложения X3a над Q, где a не является кубом рационального числа, то L содержит подполе K с тремя кубическими корнями из 1. Последнее следует из факта, что если α и β — корни кубического многочлена, мы должны получить (α/β)3 =1, что является сепарабельным многочленом. Таким образом, L/K — расширение Куммера.

Обобщая, если K содержит n различных корней из единицы n-ой степени и характеристика K не делит n, добавление к K корня n-ой степени из какого-либо элемента a из K образует расширение Куммера (степени m, которое делит n).

В качестве поля разложения полинома Xna расширение Куммера необходимо в расширении Галуа циклической группы Галуа порядка m.

Теория Куммера[править | править исходный текст]

Теория Куммера утверждает, что при наличии в K первообразного корня степени n, любое циклическое расширение K степени n образуется присоединением корня n-ой степени.

Если K× - мультипликативная группа ненулевых элементов K, циклические расширения K степени n соответствуют однозначно циклическим подгруппам

K^{\times}/(K^{\times})^n,\,\!

то есть, элементы K× по модулю n-х степеней.

Соответствие можно записать следующим образом: пусть задана циклическая подгруппа

\Delta \subseteq  K^{\times}/(K^{\times})^n, \,\!

соответствующее расширение задается формулой

K(\Delta^{1/n}),\,\!

то есть, присоединением n-х корней элементов Δ к K.

И обратно, если L - расширение Куммера для K, так что Δ задается формулой

\Delta = K^\times \cap (L^\times)^n.\,\!

В этом случае существует изоморфизм

\Delta \cong \operatorname{Hom}(\operatorname{Gal}(L/K), \mu_n)

задаваемый формулой

a \mapsto \biggl(\sigma \mapsto \frac{\sigma(\alpha)}{\alpha}\biggr),

где α - любой корень из a n-ой степени L.

Обобщения[править | править исходный текст]

Имеется небольшое обобщение теории Куммера на абелевы расширения группы Галуа степени n, и аналогичное утверждение верно в этом контексте. А именно, можно доказать, что такие расширения являются однозначным отображением в подгруппы

K^{\times}/(K^{\times})^n. \,\!

Если основное поле K не содержит корней из единицы n-ой степени, иногда используют изоморфизм

K^{\times}/(K^{\times})^n \stackrel{\sim}{\rightarrow} H^1(G_K, \mu_n). \,\!

Смотрите также[править | править исходный текст]

Ссылки[править | править исходный текст]

  • Bryan Birch, "Cyclotomic fields and Kummer extensions", in J.W.S. Cassels and A. Frohlich (edd), Algebraic number theory, Academic Press, 1973. Chap.III, pp.85-93.
  • Ленг С., Алгебра, пер. с англ., М., 1068;
  • Алгебраическая теория чисел, пер. с англ., М., 1969;
  • Таkahashi S., "J. Math. Soc. Japan", 1968, v. 20, № 1-2, p. 365