Тетраэдральное число

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Пирамида с длиной стороны 5 содержит 35 сфер. Каждый слой представляет одно из первых пяти треугольных чисел

Тетраэдра́льные числа, называемые также треугольными пирамидальными числами — это фигурные числа, представляющие пирамиду, в основании которой лежит правильный треугольник.

Начало последовательности тетраэдральных чисел:

1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969, … (последовательность A000292 в OEIS).

Формула[править | править код]

Общая формула для -го тетраэдрального числа:

Также формула может быть выражена через биномиальные коэффициенты:

Тетраэдральние числа находятся на 4-й позиции каждой строки в треугольнике Паскаля.

Свойства[править | править код]

  • n-е тетраэдральное число представляет собой сумму первых n треугольных чисел.
  • Только три тетраэдральных числа являются квадратными числами:
    T1 = 12 = 1,
    T2 = 22 = 4,
    T48 = 1402 = 19 600.
  • Пять чисел являются треугольными (последовательность A027568 в OEIS):
    Te1 = Tr1 = 1,
    Te3 = Tr4 = 10,
    Te8 = Tr15 = 120,
    Te20 = Tr55 = 1540,
    Te34 = Tr119 = 7140.
  • Единственным пирамидальным числом, которое одновременно квадратное и кубическое, является число 1.
  • Можно заметить, что:
    T5 = T4 + T3 + T2 + T1.
  • Бесконечная сумма обратных величин к тетраэдральным числам равна 3/2, что может быть получено с помощью телескопического ряда:
  • Одна из «гипотез Поллока» (1850 год): каждое натуральное число представимо как сумма не более пяти тетраэдральных чисел. До сих пор не доказана, хотя проверена для всех чисел, меньших 10 миллиардов[1][2].

Многомерное обобщение[править | править код]

В качестве многомерного обобщения треугольных и тетраэдральных чисел может рассматриваться количество -мерных сфер, которые могут быть упакованы в -мерный симплекс. Для -мерного пространства -е число может быть вычислено по следующей формуле:

Примечания[править | править код]

  1. Деза Е., Деза М., 2016, с. 239.
  2. Frederick Pollock. On the extension of the principle of Fermat's theorem on the polygonal numbers to the higher order of series whose ultimate differences are constant. With a new theorem proposed, applicable to all the orders (англ.) // Abstracts of the Papers Communicated to the Royal Society of London : journal. — 1850. — Vol. 5. — P. 922—924.

Литература[править | править код]

  • Виленкин Н. Я., Шибасов Л. П. Шибасова 3. Ф. За страницами учебника математики: Арифметика. Алгебра. Геометрия. — М.: Просвещение, 1996. — С. 30. — 320 с. — ISBN 5-09-006575-6.
  • Глейзер Г. И. История математики в школе. — М.: Просвещение, 1964. — 376 с.
  • Деза Е., Деза М. Фигурные числа. — М.: МЦНМО, 2016. — 349 с. — ISBN 978-5-4439-2400-7.

Ссылки[править | править код]