Фигурные числа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Многоугольные числа»)
Перейти к навигации Перейти к поиску

Фигу́рные чи́сла — числа, которые можно представить с помощью геометрических фигур. Это историческое понятие восходит к пифагорейцам, которые развивали алгебру на геометрической основе; отголоском этого подхода остались выражения «возвести число в квадрат или в куб». В теории чисел и комбинаторике фигурные числа связаны с многими другими классами целых чиселбиномиальными коэффициентами, совершенными числами, числами Мерсенна, Ферма, Фибоначчи, Люка и другими[1].

Содержание

Виды фигурных чисел[править | править код]

Со времён пифагорейцев (VI век до н. э.) традиционно различают следующие виды фигурных чисел (они определены, например, в VII книге «Начал» Евклида)[2]:

  • Линейные числа — числа, не разлагающиеся на сомножители, бо́льшие единицы, то есть это ряд простых чисел, дополненный единицей (у Евклида используется термин «первые числа», πρώτοι αριθμοί):
    1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271 … (последовательность A008578 в OEIS)
  • Плоские числа — числа, представимые в виде произведения двух сомножителей, бо́льших единицы, то есть составные:
    4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 58, 60, 62, 63, 64, 65, 66, 68, 69, 70, 72, 74, 75, 76, 77, 78, 80, 81, 82, 84, 85, 86, 87, 88 … (последовательность A002808 в OEIS)
    • Частным случаем являются прямоугольные числа (в источниках называются также «продолговатыми»), являющиеся произведением двух последовательных целых чисел, то есть имеющие вид
  • Телесные числа — числа, представимые произведением трёх сомножителей:
    8, 12, 16, 18, 20, 24, 27, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 44, 45, 48, 50, 52, 54, 56, 60, 63, 64, 66, 68, 70, 72, 75, 76, 78, 80, 81, 84, 88, 90, 92, 96, 98, 99, 100, 102, 104, 105, 108, 110, 112, 114, 116, 117, 120, 124, 125, 126, 128, 130, 132, 135, 136, 138, 140, 144 … (последовательность A033942 в OEIS)
  • Многоугольные числа — числа, связанные с определённым многоугольником, определение см. ниже.
  • Пространственные многогранные числа — числа, связанные с определённым многогранником, определение см. ниже.

Классические многоугольные числа[править | править код]

Определение и общий вид[править | править код]

Общее определение -угольного числа для любого можно сформулировать следующим образом[3]:

-е по порядку -угольное число есть сумма первых членов арифметической прогрессии, у которой первый член равен 1, а разность равна .

Например, треугольные числа получаются как частичные суммы ряда , а четырёхугольным (квадратным) числам соответствует ряд

Последовательность k-угольных чисел имеет вид[4]:

Общую формулу для явного подсчёта -го по порядку -угольного числа легко получить, найдя по стандартным правилам сумму арифметической прогрессии. Эту формулу можно представить в нескольких вариантах, получаемых один из другого простыми преобразованиями[5]:

(ОКФ)

Можно также использовать рекуррентную формулу[5]:

При увеличении числа сторон на единицу соответствующие фигурные числа изменяются согласно формуле Никомаха[6]:

где (Никомах)

Поскольку линейно зависит от справедлива формула:

, где

Другими словами, каждое многоугольное число есть среднее арифметическое для равноотстоящих от него по многоугольных чисел с тем же номером.

Если простое число, то второе -угольное число, равное также простое; это единственная ситуация, когда многоугольное число является простым. В самом деле, запишем общую формулу в следующем виде:

Пусть Если чётно, то фигурное число делится на а если нечётно, то делится на В обоих случаях фигурное число оказывается составным[7].

Исторический очерк[править | править код]

Фигурные числа, по мнению пифагорейцев, играют важную роль в структуре мироздания. Поэтому их изучением занимались многие математики античности: Эратосфен, Гипсикл, Диофант Александрийский и другие. Гипсикл (II век до н. э.) дал общее определение -угольного числа как суммы членов арифметической прогрессии, у которой первый член есть 1, а разность равна определение Гипсикла приводится в книге Диофанта в следующем виде[8][9]:

Если взять сколько-нибудь чисел, начиная с единицы, имеющих одинаковые разности, то сумма их, если разность единица, будет треугольником, если же двойка, то четырёхугольником, а если тройка — пятиугольником. Количество углов определяется разностью, увеличенной на двойку, а сторона — количеством взятых чисел, считая и единицу.

Диофант написал большое исследование о свойствах многоугольных чисел, фрагменты которого дошли до наших дней. О фигурных числах много говорится в пифагорейских учебниках арифметики, созданных Никомахом Геразским и Теоном Смирнским (II век), которые установили ряд зависимостей между фигурными числами разных размерностей. Большой интерес к фигурным числам проявили индийские математики и первые математики средневековой Европы (Фибоначчи, Пачоли, Кардано и др.)[10][1].

В Новое время многоугольными числами занимались Ферма, Валлис, Эйлер, Лагранж, Гаусс и другие. В сентябре 1636 года[11] Ферма сформулировал в письме Мерсенну замечательную теорему, которая сегодня называется теоремой Ферма о многоугольных числах[10]:

Я первым открыл очень красивую и совершенно общую теорему о том, что каждое число является либо треугольным, либо суммой двух или трёх треугольных чисел; каждое число или квадратное, или является суммой двух, трёх или четырёх квадратов; или пятиугольное, или является суммой двух, трёх, четырёх или пяти пятиугольных чисел, и т. д. до бесконечности, будь то для шестиугольных, семиугольных или любых многоугольных чисел. Я не могу дать здесь доказательство, которое зависит от многочисленных и запутанных тайн чисел, ибо я намерен посвятить этой теме целую книгу и получить в этой части арифметики удивительные достижения по сравнению с ранее известными пределами.

Вопреки обещанию, Ферма так и не опубликовал доказательство этой теоремы, которую в письме Паскалю (1654) назвал своим главным достижением в математике[11]. Проблемой занимались многие выдающиеся математики — в 1770 году Лагранж доказал теорему для квадратных чисел (теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов), в 1796 году Гаусс дал доказательство для треугольных. Полное доказательство теоремы сумел дать Коши в 1813 году[12][13].

Треугольные числа[править | править код]

Polygonal Number 3.gif

Последовательность треугольных чисел:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666, 703, 741, 780, 820, 861, 903, 946, 990, 1035, 1081, 1128, 1176, 1225, 1275, 1326, 1378, 1431 …, … (последовательность A000217 в OEIS)

Свойства:

  • Чётность элемента последовательности меняется с периодом 4: нечётное, нечётное, чётное, чётное.
  • Обозначим для краткости -е треугольное число: Тогда справедливы рекуррентные формулы[14]:
(Баше)
Сумма последовательных треугольных чисел образует квадратное число
  • Сумма двух последовательных треугольных чисел даёт полный квадрат (квадратное число):
.
  • Сумма конечного ряда треугольных чисел вычисляется по формуле:
.
  • Ряд из чисел, обратных треугольным, сходится:
  • Удвоенные треугольные числа дают последовательность (определённых выше [⇨]) прямоугольных чисел.
  • Натуральное число является треугольным тогда и только тогда, когда число является полным квадратом. Это несложно доказать непосредственно, но проще вывести из общей методики (задача 2)..
  • Существует бесконечно много треугольных чисел, которые одновременно являются квадратными («квадратные треугольные числа»)[16]: (OEIS|A001110}}).
  • Известное в мистике «число зверя» (666) является 36-м треугольным. Оно является наименьшим треугольным числом, которое представимо в виде суммы квадратов треугольных чисел[17]:
  • Треугольные числа образуют третью диагональную линию треугольника Паскаля; см. подробнее ниже.

Квадратные числа[править | править код]

Square number 1 with gnomon.svg Square number 4 with gnomon.svg Square number 9 with gnomon.svg Square number 16 with gnomon.svg

Квадратные числа представляют собой произведение двух одинаковых натуральных чисел, то есть являются полными квадратами:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1024, 1089, 1156, 1225, 1296, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1764, 1849, 1936, 2025, 2116, 2209, 2304, 2401, 2500 …, … (последовательность A000290 в OEIS)

Каждое квадратное число, кроме единицы, есть сумма двух последовательных треугольных чисел:

. Примеры: и т. д.

Сумма квадратов первых натуральных чисел вычисляется по формуле[18]:

Ряд обратных квадратов сходится[19]:

Каждое натуральное число может быть представлено как сумма не более четырёх квадратов (теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов).

Пятиугольные числа[править | править код]

Pentagonal number.gif
1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, 247, 287, 330, 376, 425, 477, 532, 590, 651, 715, 782, 852, 925, 1001, 1080, 1162, 1247, 1335, 1426, 1520, 1617, 1717, 1820, 1926, 2035, 2147, 2262, 2380, 2501, 2625, 2752, 2882, 3015, 3151 …, … (последовательность A000326 в OEIS)

Шестиугольные числа[править | править код]

Первые четыре шестиугольных числа.
1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, 276, 325, 378, 435, 496, 561, 630, 703, 780, 861, 946, 1035, 1128, 1225, 1326, 1431, 1540, 1653, 1770, 1891, 2016, 2145, 2278, 2415, 2556, 2701, 2850, 3003, 3160, 3321, 3486, 3655, 3828, 4005, 4186, 4371, 4560 …, … (последовательность A000384 в OEIS)

Очевидно, последовательность шестиугольных чисел получается из последовательности треугольных чисел вычёркиванием элементов с чётными номерами:

Натуральное число является шестиугольным тогда и только тогда, когда число является натуральным. Это несложно доказать непосредственно, но проще вывести из общей методики (задача 2)..

Двенадцатиугольные числа[править | править код]

Двенадцатиугольные числа вычисляются по формуле :

1, 12, 33, 64, 105, 156, 217, 288, 369, 460, 561, 672, 793, 924, 1065, 1216, 1377, 1548, 1729, 1920, 2121, 2332, 2553, 2784, 3025, 3276, 3537, 3808, 4089, 4380, 4681, 4992, 5313, 5644, 5985, 6336, 6697, 7068, 7449, 7840, 8241, 8652, 9073, 9504, 9945 … (последовательность A051624 в OEIS)

В десятичной системе -ое двенадцатиугольное число заканчивается на ту же цифру, что и само число .

Определение, является ли заданное число многоугольным[править | править код]

Задача 1 (часто называемая задачей Диофанта): дано натуральное число требуется определить, является ли оно многоугольным числом и если да, то для каких значений Диофант сформулировал эту проблему так: «выяснить, сколько раз данное число встречается среди всевозможных многоугольных чисел». Алгоритм решения этой задачи следующий[20].

  1. Выпишем все натуральные делители числа (включая 1 и само ).
  2. Выпишем все натуральные делители числа
  3. Отберём из первого набора те числа, которые на 1 больше какого-либо числа из второго набора. Эти числа соответствуют
  4. Для каждого отобранного подсчитаем
  5. Вычеркнем пары в которых .

Тогда все соответствующие оставшимся парам равны

Пример[20]. Пусть .

  • Делители
  • Делители
  • Отбираем
  • Соответственно Последнее значение отбросим.

Ответ: встречается как то есть как 2-е 105-угольное, 3-е 36-угольное, 5-е 12-угольное и 14-е 14-угольное число.

Задача 2: дано натуральное число требуется определить, является ли оно угольным числом В отличие от задачи 1, здесь задано.

Для решения можно использовать тождество Диофанта[21]:

Это тождество без труда получается из приведенной выше общей формулы для и равносильно ей. Из тождества вытекает решение поставленной задачи 2: если есть угольное число, то есть для некоторого то есть некоторое квадратное число , и обратно. При этом номер находится по формуле[21]:

Пример[21]. Определим, является ли число 10-угольным. Значение здесь равно поэтому ответ утвердительный. следовательно, является 20-м 10-угольным числом.

Производящая функция[править | править код]

Степенной ряд, коэффициенты которого — -угольные числа, сходится при :

Выражение справа является производящей функцией для последовательности -угольных чисел[22].

Аппарат производящих функций позволяет применять в теории чисел и комбинаторике методы математического анализа. Приведенная формула также объясняет появление -угольных чисел среди коэффициентов ряда Тэйлора для различных рациональных дробей. Примеры:

При :
При :
При :

и т. д.

Для некоторых классов многоугольных чисел существуют свои, специфические производящие функции. Например, для квадратных треугольных чисел производящая функция имеет следующий вид[23]:

; ряд сходится при

Сводная таблица[править | править код]

k Тип числа Общая формула n Сумма обратных значений[24] Номер OEIS
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
3 Треугольное 12(n2 + n) 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 2

A000217

4 Квадратное 12(2n2 − 0n) = n2 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 26

A000290

5 Пятиугольное 12(3n2n) 1 5 12 22 35 51 70 92 117 145

A000326

6 Шестиугольное 12(4n2 − 2n) 1 6 15 28 45 66 91 120 153 190 2 ln 2

A000384

7 Семиугольное 12(5n2 − 3n) 1 7 18 34 55 81 112 148 189 235

A000566

8 Восьмиугольное 12(6n2 − 4n) 1 8 21 40 65 96 133 176 225 280 34 ln 3 + 312

A000567

9 Девятиугольное 12(7n2 − 5n) 1 9 24 46 75 111 154 204 261 325

A001106

10 Десятиугольное 12(8n2 − 6n) 1 10 27 52 85 126 175 232 297 370 ln 2 + 6

A001107

11 11-угольное 12(9n2 − 7n) 1 11 30 58 95 141 196 260 333 415

A051682

12 12-угольное 12(10n2 − 8n) 1 12 33 64 105 156 217 288 369 460

A051624

13 13-угольное 12(11n2 − 9n) 1 13 36 70 115 171 238 316 405 505

A051865

14 14-угольное 12(12n2 − 10n) 1 14 39 76 125 186 259 344 441 550 25 ln 2 + 310 ln 3 + 310

A051866

15 15-угольное 12(13n2 − 11n) 1 15 42 82 135 201 280 372 477 595

A051867

16 16-угольное 12(14n2 − 12n) 1 16 45 88 145 216 301 400 513 640

A051868

17 17-угольное 12(15n2 − 13n) 1 17 48 94 155 231 322 428 549 685

A051869

18 18-угольное 12(16n2 − 14n) 1 18 51 100 165 246 343 456 585 730 47 ln 2 − 214 ln (3 − 22) + (1 + 2)14

A051870

19 19-угольное 12(17n2 − 15n) 1 19 54 106 175 261 364 484 621 775

A051871

20 20-угольное 12(18n2 − 16n) 1 20 57 112 185 276 385 512 657 820

A051872

10000 12(9998n2 − 9996n) 1 10000 29997 59992 99985 149976 209965 279952 359937 449920

A167149

Центрированные многоугольные числа[править | править код]

Определение[править | править код]

Центрированные -угольные числа () — это класс фигурных чисел, получаемый следующим геометрическим построением. Сначала на плоскости фиксируется некоторая центральная точка. Затем вокруг неё строится правильный -угольник с точками вершин, каждая сторона содержит две точки (см. рисунок). Далее снаружи строятся новые слои -угольников, причём каждая их сторона на новом слое содержит на одну точку больше, чем в предыдущем слое, то есть начиная со второго слоя каждый следующий слой содержит на больше точек, чем предыдущий. Общее число точек внутри каждого слоя и принимается в качестве центрированного многоугольного числа (точка в центре считается начальным слоем)[25].

Примеры построения центрированных многоугольных чисел:

Треугольные Квадратные Пятиугольные Шестиугольные
Centered triangular number 19.svg Centered square number 25.svg Centered pentagonal number 31.svg Hex number 37.svg

Из построения видно, что центрированные многоугольные числа получаются как частичные суммы следующего ряда: (например, центрированные квадратные числа, для которых образуют последовательность: ) Этот ряд можно записать как , откуда видно, что в скобках — порождающий ряд для классических треугольных чисел (см. выше [⇨]). Следовательно, каждая последовательность центрированных -угольных чисел, начиная со 2-го элемента, может быть представлена как где — последовательность треугольных чисел. Например, центрированные квадратные числа — это учетверённые треугольные числа плюс 1, порождающий ряд для них имеет вид: [26]

Из приведенной выше формулы для треугольных чисел получаем общую формулу для -го центрированного -угольного числа [26]:

(ОЦФ)

Производящая функция для центрированных многоугольных чисел имеет вид[27]:

Типы центрированных многоугольных чисел[править | править код]

Центрированные треугольные числа[править | править код]

Центрированные треугольные числа

-е по порядку центрированное треугольное число задаётся формулой:

.

Первые элементы последовательности центрированных треугольных чисел:

1, 4, 10, 19, 31, 46, 64, 85, 109, 136, 166, 199, 235, 274, 316, 361, 409, 460, 514, 571, 631, 694, 760, 829, 901, 976, 1054, 1135, 1219, 1306, 1396, 1489, 1585, 1684, 1786, 1891, 1999, 2110, 2224, 2341, 2461, 2584, 2710, 2839, 2971 …,   (последовательность A005448 в OEIS)
Некоторые свойства
  1. Каждое центрированное треугольное число, начиная с 10, является суммой трёх последовательных классических треугольных чисел:
  2. Каждое центрированное треугольное число при делении на 3 дает остаток 1, а частное (если оно положительно), есть классическое треугольное число .
  3. Некоторые центрированные треугольные числа являются простыми[7]: 19, 31, 109, 199, 409 … (последовательность A125602 в OEIS).

Центрированные квадратные числа[править | править код]

1     5     13     25
RedDot.svg     RedDot.svg
RedDot.svgGrayDot.svgRedDot.svg
RedDot.svg
    RedDot.svg
RedDot.svgGrayDot.svgRedDot.svg
RedDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgRedDot.svg
RedDot.svgGrayDot.svgRedDot.svg
RedDot.svg
    RedDot.svg
RedDot.svgGrayDot.svgRedDot.svg
RedDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgRedDot.svg
RedDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgRedDot.svg
RedDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgRedDot.svg
RedDot.svgGrayDot.svgRedDot.svg
RedDot.svg

-е по порядку центрированное 4-угольное (квадратное) число задаётся формулой:

Первые элементы последовательности центрированных квадратных чисел:

1, 5, 13, 25, 41, 61, 85, 113, 145, 181, 221, 265, 313, 365, 421, 481, 545, 613, 685, 761, 841, 925, 1013, 1105, 1201, 1301, 1405, 1513, 1625, 1741, 1861, 1985, 2113, 2245, 2381, 2521, 2665, 2813, 2965, 3121, 3281, 3445, 3613, 3785, 3961, 4141, 4325 …, (последовательность A001844 в OEIS)
Некоторые свойства
  1. Как видно из общей формулы, центрированное квадратное число есть сумма двух последовательных квадратов.
  2. Все центрированные квадратные числа нечётны, и последняя цифра в их десятичном представлении меняется в цикле: 1-5-3-5-1.
  3. Все центрированные квадратные числа и их делители дают остаток 1 при делении на 4, а при делении на 6, 8 или 12 дают остаток 1 или 5.
  4. Все центрированные квадратные числа, за исключением 1, представляют длину гипотенузы в одной из пифагоровых троек (например, 3-4-5, 5-12-13). Таким образом, каждое центрированное квадратное число равно числу точек внутри данного расстояния в кварталах от центральной точки на квадратной решётке.
  5. Разность между двумя последовательными классическими восьмиугольными числами есть центрированное квадратное число.
  6. Некоторые центрированные квадратные числа являются простыми (очевидно, что классические квадратные числа всегда составные). Примеры простых центрированных квадратных чисел:
5, 13, 41, 61, 113, 181, 313, 421, 613, 761, 1013, 1201, 1301, 1741, 1861, 2113, 2381, 2521, 3121, 3613 … (последовательность A027862 в OEIS).

Центрированные пятиугольные числа[править | править код]

Центрированные пятиугольные числа

-е по порядку центрированное пятиугольное число задается формулой:

.

Несколько первых центрированных пятиугольных чисел:

1, 6, 16, 31, 51, 76, 106, 141, 181, 226, 276, 331, 391, 456, 526, 601, 681, 766, 856, 951, 1051, 1156, 1266, 1381, 1501, 1626, 1756, 1891, 2031, 2176, 2326, 2481, 2641, 2806, 2976 …, … (последовательность A005891 в OEIS)

Чётность центрированных пятиугольных чисел меняется по правилу: чётное-чётное-нечётное-нечётное, и последняя десятичная цифра меняется в цикле: 6-6-1-1.

Некоторые центрированные пятиугольные числа являются простыми[7]: 31, 181, 331, 391, 601 . . . (последовательность A145838 в OEIS)

Центрированные шестиугольные числа[править | править код]

Представление формулы в виде показывает, что центрированное шестиугольное число на 1 больше, чем шестикратная величина -го треугольного числа.

-е по порядку центрированное шестиугольное число задаётся формулой:

.

Несколько первых центрированных шестиугольных чисел:

1, 7, 19, 37, 61, 91, 127, 169, 217, 271, 331, 397, 469, 547, 631, 721, 817, 919 … … (последовательность A003215 в OEIS)
Некоторые свойства
  1. Последний десятичный знак центрированных шестиугольных чисел меняется в цикле 1-7-9-7-1.
  2. Сумма первых n центрированных шестиугольных чисел равна «кубическому числу»
  3. Справедливо рекуррентное равенство:
  4. Некоторые центрированные шестиугольные числа являются простыми[7]: 7, 19, 37, 61, 127 … (последовательность A002407 в OEIS).

Центрированные семиугольные числа[править | править код]

Centered heptagonal number.svg

-е по порядку центрированное семиугольное число задаётся формулой . Его можно также вычислить умножением треугольного числа на 7 с добавлением 1.

Несколько первых центрированных семиугольных чисел:

1, 8, 22, 43, 71, 106, 148, 197, 253, 316, 386, 463, 547, 638, 736, 841, 953 …, … (последовательность A069099 в OEIS)

Чётность центрированных семиугольных чисел меняется в цикле нечётный-чётный-чётный-нечётный.

Некоторые центрированные семиугольные числа являются простыми[7]:

43, 71, 197, 463, 547, 953, 1471, 1933, 2647, 2843, 3697 … (последовательность A144974 в OEIS)

Существуют также центрированные семиугольные числа, входящие в пары простых чисел-близнецов:

43, 71, 197, 463, 1933, 5741, 8233, 9283, 11173, 14561, 34651 … (последовательность A144975 в OEIS)

Центрированные восьмиугольные числа[править | править код]

Centered octagonal number.svg

-е по порядку центрированное восьмиугольное число задаётся формулой

Несколько первых центрированных восьмиугольных чисел:

1, 9, 25, 49, 81, 121, 169, 225, 289, 361, 441, 529, 625, 729, 841, 961, 1089.
Некоторые свойства
  1. Все центрированные восьмиугольные числа нечётны, и их последняя десятичная цифра меняется в цикле 1-9-5-9-1.
  2. Центрированное восьмиугольное число совпадает с классическим квадратным числом с нечётным номером: Другими словами, нечётное число является центрированным восьмиугольным числом тогда и только тогда, когда оно является квадратом целого числа.
  3. Из предыдущего свойства следует, что все центрированные восьмиугольные числа, кроме 1, составные.

Центрированные девятиугольные числа[править | править код]

-е по порядку центрированное девятиугольное число определяется общей формулой

Умножая -ое треугольное число на 9 и добавляя 1, получим -ое центрированное девятиугольное число, но имеется и более простая связь с треугольными числами — каждое третье треугольное число (1-е, 4-е, 7-е, и т. д.) также является центрированным девятиугольным числом, и так можно получить все центрированные девятиугольные числа. Формальная запись:

Первые центрированные девятиугольные числа:

1, 10, 28, 55, 91, 136, 190, 253, 325, 406, 496, 595, 703, 820, 946 … (последовательность A060544 в OEIS)

За исключением 6, все чётные совершенные числа являются также центрированными девятиугольными числами. В 1850-м году математик-любитель Фредерик Поллок (Sir Frederick Pollock) высказал предположение, которое до сих пор не доказано и не опровергнуто, что любое натуральное число есть сумма максимум одиннадцати центрированных девятиугольных чисел[28].

Из общей формулы следует, что все центрированные девятиугольные числа, кроме 1, составные.

Центрированные десятиугольные числа[править | править код]

Centered nonagonal number.svg

-е по порядку центрированное десятиугольное число задаётся формулой .

Первые представители центрированных десятиугольных чисел:

1, 11, 31, 61, 101, 151, 211, 281, 361, 451, 551, 661, 781, 911, 1051 … (последовательность A062786 в OEIS)

Подобно другим -угольным числам, -ое центрированное десятиугольное число можно вычислить, умножая -ое треугольное число на , в нашем случае 10, затем добавляя 1. Как следствие, центрированные десятиугольные числа могут быть получены просто добавлением 1 к десятичному представлению числа. Таким образом, все центрированные десятиугольные числа нечётны и всегда оканчиваются на 1 в десятичном представлении.

Часть центрированных десятиугольных чисео являются простыми, например:

11, 31, 61, 101, 151, 211, 281, 661, 911, 1051, 1201, 1361, 1531, 1901, 2311, 2531, 3001, 3251, 3511, 4651, 5281… (последовательность A090562 в OEIS)

Многоугольные числа, одновременно классические и центрированные[править | править код]

Некоторые центрированные многоугольные числа совпадают с классическими, например: для краткости будем называть такие многоугольные числа двойными.

1. Двойные числа с общим параметром (число углов): имеет место тождество[29]:
2. Двойные треугольные числа с разными Пример: (последовательность A128862 в OEIS). Для их нахождения надо решить диофантово уравнение:
тогда Некоторые решения:
(последовательность A133161 в OEIS), соответственно:
(последовательность A102871 в OEIS)
3. Классические квадратные, являющиеся центрированными треугольными числами. Их определяет диофантово уравнение:
Тогда
Решения:
(последовательность A129445 в OEIS), соответственно
Первые такие числа:
4. Классические треугольные, являющиеся центрированными шестиугольными числами. Первые такие числа: (последовательность A006244 в OEIS). Их определяет диофантово уравнение:
Тогда
Решения:
(последовательность A031138 в OEIS)
(последовательность A087125, в OEIS)
5. Классические квадратные, являющиеся центрированными шестиугольными числами. Первые такие числа: (последовательность A006051 в OEIS). Их определяет диофантово уравнение:
Тогда
Решения:
(последовательность A001570 в OEIS)
(последовательность A001921, в OEIS)

Пространственные фигурные числа[править | править код]

Наряду с рассмотренными выше фигурными числами для плоских фигур, можно определить пространственные или даже многомерные их аналоги. Уже античные математики исследовали тетраэдральные и квадратные пирамидальные числа. Несложно определить числа, связанные с пирамидами, в основании которых лежит любой другой многоугольник, например:

Другие классы пространственных фигурных чисел связаны с классическими многогранниками.

Пирамидальные числа[править | править код]

Геометрическое представление квадратного пирамидального числа: .

Пирамидальные числа определяются следующим образом.

-е по порядку -угольное пирамидальное число есть сумма первых плоских фигурных чисел с тем же числом углов :

Геометрически пирамидальное число можно представить как пирамиду из слоёв (см. рисунок), каждый из которых содержит от 1 (верхний слой) до (нижний) шаров.

По индукции нетрудно доказать общую формулу для пирамидального числа, известную ещё Архимеду[30]:

(ОПФ)

Правую часть этой формулы можно также выразить через плоские многоугольные числа:

Существует трёхмерный аналог формулы Никомаха для пирамидальных чисел[31]:

Производящая функция пирамидальных чисел имеет вид[32]:

Треугольные пирамидальные (тетраэдральные) числа[править | править код]

Тетраэдр с длиной стороны 5 содержит 35 сфер. Каждый слой представляет одно из первых пяти треугольных чисел.

Треугольные пирамидальные числа, называемые также тетраэдральными — это фигурные числа, которые представляют тетраэдр, то есть пирамиду, в основании которой лежит треугольник. Несколько первых тетраэдральных чисел:

1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969 … (последовательность A000292 в OEIS)

Интересно, что пятое число равно сумме всех предыдущих.

Общая формула для тетраэдрального числа:

Существует трёхмерный аналог формулы Баше де Мезириака, а именно разложение произвольного пирамидального числа по тетраэдральным[31]:

Пять тетраэдральных чисел одновременно являются треугольными (последовательность A027568 в OEIS):

1, 10, 120, 1540, 7140

Только три тетраэдральных числа являются квадратными числами:

, , .

Одна из «гипотез Поллока» (1850 год): каждое натуральное число представимо как сумма не более пяти тетраэдральных чисел. До сих пор не доказана, хотя проверена для всех чисел, меньших 10 миллиардов[33][34].

Квадратные пирамидальные числа[править | править код]

Квадратные пирамидальные числа часто кратко называют просто пирамидальными. Для них пирамида имеет квадратное основание. Начальная последовательность:

1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819… (последовательность A000330 в OEIS).

Общая формула для квадратного пирамидального числа:

Квадратное пирамидальное число также выражает общее количество квадратов в квадратной сетке .

Между квадратными и треугольными пирамидальными числами существует следующая зависимость[35]:

Выше было отмечено, что сумма последовательных треугольных чисел есть квадратное число; аналогично сумма последовательных тетраэдральных чисел есть квадратное пирамидальное число[35]:

Многогранные числа[править | править код]

По аналогии с квадратными можно ввести «кубические числа» а также числа, соответствующие другим правильным и неправильным многогранникам — например, платоновым телам:

Предусмотрены также их центрированные варианты.

Кубические числа[править | править код]

Кубические числа представляют собой произведение трёх одинаковых натуральных чисел и имеют общий вид Начальные значения:

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000 . . . (последовательность A000578 в OEIS)

Кубическое число можно выразить как разность квадратов последовательных треугольных чисел[36]:

Следствие: сумма первых кубических чисел равна квадрату -го треугольного числа:

Разность между двумя соседними кубическими числами есть центрированное шестиугольное число. Следствие: сумма первых центрированных шестиугольных чисел есть кубическое число [36].

Выражение кубического числа через тетраэдральные[36]:

, где

Одна из «гипотез Поллока» (1850 год): каждое натуральное число представимо как сумма не более девяти кубических чисел. Доказана в начале XX века. Обычно достаточно семи кубов, но 15 чисел требуют восьми (15, 22, 50, 114, 167, 175, 186, 212, 231, 238, 303, 364, 420, 428, 454, последовательность A018889 в OEIS), а двум числам нужны все девять: 23 и 239. Если, кроме сложения, допускать вычитание, то достаточно и пяти кубов (возможно, что даже четырёх, но это пока не доказано)[37].

Производящая функция кубических чисел имеет вид[36]:

Октаэдральные числа[править | править код]

Додекаэдральные числа[править | править код]

Икосаэдральные числа[править | править код]

Многомерные обобщения[править | править код]

Описанные выше трёхмерные конструкции можно обобщить на четыре и более измерений. Аналогом тетраэдральных чисел в -мерном пространстве служат «симплексные числа», называемые также гипертетраэдральными:

Их частным случаем выступают:

Другой класс многомерных чисел — гиперкубические: Четырёхмерные гиперкубические числа () называются биквадратными.

Числа из более чем одного класса[править | править код]

Некоторые фигурные числа могут входить более чем в один класс плоских и/или многомерных чисел, примеры для плоских чисел уже приводились выше. Для многомерных чисел это довольно редкая ситуация[38].

  • Пять чисел (и только они) одновременно треугольные и тетраэдральные (последовательность A027568 в OEIS).
  • Четыре числа одновременно треугольные и квадратные пирамидальные (последовательность A039596 в OEIS).
  • Три числа одновременно плоские квадратные и тетраэдральные (последовательность A003556 в OEIS).
  • Два числа одновременно квадратные плоские и квадратные пирамидальные. Это утверждение получило известность как «гипотеза Люка» или «задача о пушечных ядрах» (1875 год). Полное решение дал в 1918 году Джордж Невилл Ватсон[39].
  • Никакое натуральное число, кроме 1, не может быть одновременно:
    • треугольным и кубическим;
    • центрированным шестиугольным и кубическим.

В 1988 году Ф. Бейкерс и Дж. Топ доказали, что никакое число, кроме 1, не может быть одновременно тетраэдральным и квадратным пирамидальным[40]. Доказано также, что не существует чисел, которые одновременно:

  • тетраэдральные и кубические;
  • квадратные пирамидальные и кубические;
  • тетраэдральные и биквадратные;
  • квадратные пирамидальные и биквадратные.

Роль в теории чисел[править | править код]

Треугольник Паскаля[править | править код]

Числа из треугольника Паскаля обнаруживают связь со многими типами фигурных чисел.

Тетраэдральные числа в треугольнике Паскаля (выделены красным)

На третьей линии в треугольнике Паскаля находятся треугольные числа, а на четвёртой — тетраэдральные числа (см. рисунок). Это объясняется тем, что -е тетраэдральное число есть сумма первых треугольных чисел, которые расположены на третьей линии. Аналогично на пятой линии расположены четырёхмерные пентатопные числа и т. д. Все они, как и прочие числа внутри треугольника Паскаля, являются биномиальными коэффициентами.

Таким образом, все внутренние элементы треугольника Паскаля являются фигурными числами, причём представлены различные их типы. Вдоль каждой строки, слева направо, идут гипертетраэдральные числа возрастающей размерности. Известно, что сумма всех чисел -й строки равна отсюда следует, что сумма всех чисел первых строк равна числу Мерсенна Следовательно, число Мерсенна можно представить как сумму гипертетраэдральных чисел[41].

Другие применения[править | править код]

Многие теоремы теории чисел допускают формулировку в терминах фигурных чисел. Например, гипотеза Каталана утверждает, что среди гиперкубических чисел произвольных размерностей только одна пара отличается на 1: (доказано в 2002 году)[42].

Всякое чётное совершенное число является треугольным[43] (и одновременно шестиугольным, причём номер шестиугольного числа есть степень двойки). Такое число не может одновременно быть квадратным, кубическим или иным гиперкубическим числом[44].

Гипотеза Лежандра (1808 год, она же третья проблема Эдмунда Ландау): между последовательными квадратными числами всегда найдётся простое число. До сих пор не доказана.

Сумма первых центрированных треугольных чисел есть «магическая константа» для магического квадрата размерности . Другие способы получить эту же константу — через треугольное число или сложить все натуральные числа от до включительно[45].

Число Мерсенна, большее 1, не может быть квадратным, кубическим или иным гиперкубическим, но может быть треугольным. Треугольных чисел Мерсенна всего четыре: их поиск эквивалентен решению в натуральных числах уравнения Рамануджана — Нагеля[en]: Как оказалось, решение этого уравнения существует только при (последовательность A060728 в OEIS), и при соответствующее число Мерсенна будет тогда треугольным[41].

Получение чисел Фибоначчи из треугольника Паскаля

Число Ферма также не может быть квадратным, кубическим или иным гиперкубическим, но в единственном случае может быть треугольным: Число Ферма также не может быть тетраэдральным и гипертетраэдральным любой размерности выше 2-й[41].

Среди чисел Фибоначчи имеются только три квадратных числа (0, 1 и 144) и четыре треугольных (1, 3, 21, 55, последовательность A039595 в OEIS). Если повернуть треугольник Паскаля, как показано на рисунке, то числа Фибоначчи можно получить как суммы вдоль восходящих диагоналей; этот факт даёт разложение числа Фибоначчи по гипертетраэдральным числам[46].

Среди чисел Люка квадратных чисел два (1 и 4), а треугольных три (1, 3, 5778)[46].

Числа Каталана выражаются через гипертетраэдральные числа следующим образом[47]:

Ещё один класс чисел, тесно связанных с фигурными — числа Стирлинга второго рода Этот класс включает все треугольные числа: а выражение равно 2-му по порядку -мерному гиперкубическому числу Наконец, всякое -мерное гиперкубическое число разлагается по следующим образом[47]:

Примечания[править | править код]

  1. 1 2 Деза Е., Деза М., 2016, с. 10.
  2. Гайденко П. П. Эволюция понятия науки (становление и развитие первых научных программ), глава 1. М.: Наука, 1980.
  3. Ожигова Е. П. Что такое теория чисел. — М.: Знание, 1970. — С. 56—57.
  4. Арифметический ряд // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 1.
  5. 1 2 Деза Е., Деза М., 2016, с. 15.
  6. За страницами учебника математики, 1996, с. 50.
  7. 1 2 3 4 5 Деза Е., Деза М., 2016, с. 217.
  8. Деза Е., Деза М., 2016, с. 14.
  9. Диофант Александрийский. Арифметика и книга о многоугольных числах. / Пер. И. Н. Веселовского; Ред. и коммент. И. Г. Башмаковой. — М.: Наука, ГРФМЛ, 1974. — 328 стр. С. 48.
  10. 1 2 Матвиевская Г. П. Учение о числе на средневековом Ближнем и Среднем Востоке. — Ташкент: ФАН, 1967. — С. 22—23. — 344 с. Вопреки названию, книга прослеживает историю понятия числа с самых древних времён.
  11. 1 2 Деза Е., Деза М., 2016, с. 237.
  12. Виленкин Н. Я. Популярная комбинаторика. — М.: Наука, 1975. — С. 10—11. — 208 с.
  13. Деза Е., Деза М., 2016, с. 10.
  14. Деза Е., Деза М., 2016, с. 20—21.
  15. Деза Е., Деза М., 2016, с. 24.
  16. Деза Е., Деза М., 2016, с. 25—33.
  17. Деза Е., Деза М., 2016, с. 225.
  18. Некоторые конечные числовые ряды. Math24.ru. Дата обращения 14 июня 2019.
  19. Кохась К. П. Сумма обратных квадратов // Математическое просвещение. — 2004. — Вып. 8. — С. 142—163.
  20. 1 2 Деза Е., Деза М., 2016, с. 37—39.
  21. 1 2 3 Деза Е., Деза М., 2016, с. 39—39.
  22. Деза Е., Деза М., 2016, с. 17—19.
  23. Деза Е., Деза М., 2016, с. 33.
  24. Lawrence Downey, Boon W. Ong. Beyond the Basel Problem: Sums ofReciprocals of Figurate Numbers
  25. Деза Е., Деза М., 2016, с. 39—40.
  26. 1 2 Деза Е., Деза М., 2016, с. 40—41.
  27. Деза Е., Деза М., 2016, с. 42.
  28. Dickson, L. E. (2005), Diophantine Analysis, vol. 2, History of the Theory of Numbers, New York: Dover, с. 22–23, <https://books.google.com/books?id=eNjKEBLt_tQC&pg=PA22> .
  29. Деза Е., Деза М., 2016, с. 48.
  30. Деза Е., Деза М., 2016, с. 70—71.
  31. 1 2 Деза Е., Деза М., 2016, с. 76.
  32. Деза Е., Деза М., 2016, с. 74—75.
  33. Деза Е., Деза М., 2016, с. 239.
  34. Frederick Pollock. On the extension of the principle of Fermat's theorem on the polygonal numbers to the higher order of series whose ultimate differences are constant. With a new theorem proposed, applicable to all the orders (англ.) // Abstracts of the Papers Communicated to the Royal Society of London : journal. — 1850. — Vol. 5. — P. 922—924.
  35. 1 2 Деза Е., Деза М., 2016, с. 75.
  36. 1 2 3 4 Деза Е., Деза М., 2016, с. 78—81.
  37. Деза Е., Деза М., 2016, с. 231—232.
  38. Деза Е., Деза М., 2016, с. 77—78.
  39. Watson G. N. The Problem of the Square Pyramid // Messenger. Math. 1918. Vol. 48. P. 1–16.
  40. Beukers F., Top J. On oranges and integral points on certain plane cubic curves // Nieuw Arch. Wisk. (4). 1988. Vol. 6, № 3. P. 203–210.
  41. 1 2 3 Деза Е., Деза М., 2016, с. 203—205.
  42. Деза Е., Деза М., 2016, с. 196—197.
  43. За страницами учебника математики, 1996, с. 51.
  44. Деза Е., Деза М., 2016, с. 200—201.
  45. Деза Е., Деза М., 2016, с. 222—223.
  46. 1 2 Деза Е., Деза М., 2016, с. 208.
  47. 1 2 Деза Е., Деза М., 2016, с. 214—215.

Литература[править | править код]

Ссылки[править | править код]