Формула Эйлера — Маклорена

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Формула суммирования Эйлера — Маклорена — формула, позволяющая выражать дискретные суммы значений функции через интегралы от функции. В частности, многие асимптотические разложения сумм получаются именно через эту формулу.

Формула была найдена независимо Леонардом Эйлером в 1732 году и Колином Маклореном примерно в 1735 году (и позже была обобщена до формулы Дарбу (англ.)). Эйлер получил эту формулу, когда ему потребовалось вычислить медленно сходящийся ряд, а Маклорен использовал её для вычисления интегралов.

Формула[править | править вики-текст]

Формула Эйлера — Маклорена имеет вид:

где

здесь — натуральное, числа Бернулли, — достаточно гладкая функция, чтобы иметь производные , многочлен Бернулли, — дробная часть x. В случае, когда мало, получаем хорошее приближение для суммы.

Многочлены Бернулли определяются рекуррентно как

Выражение называется периодической функцией Бернулли.

Остаточный член[править | править вики-текст]

Остаточный член R может быть легко выражен в терминах :

или эквивалентным образом, получаемым интегрированием по частям, предполагая, что дифференцируема еще раз, и вспоминая, что нечетные числа Бернулли равны нулю:

где . Можно показать, что

где обозначает дзета-функцию Римана. Равенство достигается для четных n и . С помощью этого неравенства остаточный член оценивается как

Доказательство[править | править вики-текст]

Операторные соображения[править | править вики-текст]

Перед доказательством удобно рассмотреть соображения высшего порядка (принадлежащие Лагранжу) о том, почему такая формула имеет место. Обозначим — разностный оператор, — оператор суммирования, — оператор дифференцирования, — оператор интегрирования. обратен к , а - обратен к . Можно выразить через с помощью формулы Тейлора:

т.е. и тогда , а поскольку , то

Применяя это операторное соотношение к , получаем искомую формулу, но без остаточного члена.

Этот вывод чисто формальный и не касается вопросов сходимости.

Доказательство с остаточным членом[править | править вики-текст]

Достаточно доказать формулу при , поскольку мы можем любой отрезок с целыми границами разбить на отрезки длины 1 и сдвигом перевести их в . При формула имеет вид

Доказательство будем вести индукцией по m.

База. При , и мы получаем:

Интегрирования по частям при , получаем формулу при .

Шаг. Шаг индукции равносилен равенству , т.е. нужно доказать, что

Здесь снова применима формула интегрирования по частям при : , поэтому формула верна тогда и только тогда, когда

то есть когда , а это верно, поскольку при нечётных m у нас .

Применение[править | править вики-текст]

Сумма степеней[править | править вики-текст]

Вычислим сумму степеней . Положим , тогда и , вычисляя интегралы, получаем:

Сумма обратных квадратов[править | править вики-текст]

Вычислить сумму

Эйлер вычислил эту сумму до 20 десятичных знаков с помощью небольшого числа членов формулы Эйлера-Маклорена в 1735. Это, вероятно, убедило его в том, что эта сумма равна , что и было им доказано в том же году.[1][2]

Численное интегрирование[править | править вики-текст]

Формула Эйлера-Маклорена также может быть использована для детального анализа ошибок численных методов интегрирования. Она объясняет высокую производительность метода трапеций на гладких периодических функциях и используется в определенных методах экстраполяции. Clenshaw–Curtis quadrature существенно изменяет переменные, выражая произвольный интеграл в терминах интегралов периодических функций, для которых приближение Эйлера-Маклорена особенно точно (в этом частном случае формула Эйлера-Маклорена берется в форме дискретного косинус-преобразования). Эта техника называется преобразованием к периодической функции.

Асимптотическое выражение для суммы[править | править вики-текст]

Для вычисления асимптотического выражения суммы или ряда обычно чаще всего используется следующая форма формулы Эйлера-Маклорена:

где a,b - целые. Часто формула остается справедливой и при расширении пределов или , или обоих. Во многих случаях интеграл в правой части может быть вычислен замкнутой форме в терминах элементарных функций, даже если сумма в левой части так не может быть выражена. Тогда все члены асимптотического ряда могут быть выражены в терминах элементарных функций. Например,

Здесь левая часть равна , называемая полигамма-функцией первого порядка, определяемая как ; гамма-функция равна , если z натуральное. Полученный результат есть асимптотческое разложение . Это выражение используется как отправной пункт для получения оценки точной ошибки формулы Стирлинга для факториала.

Аппроксимация для гармонических чисел[править | править вики-текст]

Полагаем , тогда и тогда получаем

где . Отсюда можно относительно быстро вычислить постоянную Эйлера .

Аппроксимация Стирлинга для факториала[править | править вики-текст]

Полагаем , тогда и тогда получаем

где на самом деле . Взяв экспоненту от обеих частей, получим формулу Стирлинга.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. David J. Pengelley, "Dances between continuous and discrete: Euler's summation formula", in: Robert Bradley and Ed Sandifer (Eds), Proceedings, Euler 2K+2 Conference (Rumford, Maine, 2002), Euler Society, 2003.
  2. К. П. Кохась Сумма обратных квадратов // Матем. просв.. — 2004. — Вып. 8. — С. 142–163.

Литература[править | править вики-текст]

  • Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика. — М.: Мир, 1998. — 703 с. — ISBN 5-03-001793-3.
  • Фихтенгольц Г. М. Глава 12. § 6. Обвертывающие и асимптотические ряды. Формула Эйлера-Маклорена // Курс дифференциального и интегрального исчисления. — 7-е изд.,стереотип. — М.: Наука, 1969. — Т. 2. — С. 531—551. — 800 с.