Эндоморфизм

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Эндоморфизмгомоморфизм вида , отображающий алгебраическую систему в себя. Более общо, мы можем говорить об эндоморфизмах в произвольной категории. В любой категории композиция двух эндоморфизмов также является эндоморфизмом, композиция ассоциативна и существует тождественный эндоморфизм. Отсюда следует, что эндоморфизмы образуют моноид, который обозначается (или , чтобы подчеркнуть категорию ).

Обратимый эндоморфизм (обладающий свойствами изоморфизма) называется автоморфизмом. Множество автоморфизмов является подмножеством с естественной структурой группы, оно обозначается .

Любые два эндоморфизма абелевой группы можно складывать по правилу . С определенным таким образом сложением, эндоморфизмы любой абелевой группы образуют кольцо, называемое кольцом эндоморфизмов. Например, эндоморфизмы свободной абелевой группы — это кольцо всех матриц с целыми коэффициентами. Эндоморфизмы векторного пространства или модуля также образуют кольцо, как и эндоморфизмы любого объекта предаддитивной категории. Эндоморфизмы коммутативного моноида образуют полукольцо, а эндоморфизмы некоммутативной группы образуют структуру, известную как почтикольцо.

Примечания[править | править вики-текст]