Эндоморфизм

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Эндоморфизм — морфизм объекта категории в себя, в контексте универсальной алгебры — гомоморфизм, отображающий алгебраическую систему в себя.

В любой категории композиция двух эндоморфизмов также является эндоморфизмом, композиция ассоциативна и существует тождественный эндоморфизм. Отсюда следует, что все эндоморфизмы для объекта образуют моноид, который обозначается (или , чтобы подчеркнуть категорию ).

Обратимый эндоморфизм (обладающий свойствами изоморфизма) называется автоморфизмом. Множество автоморфизмов является подмножеством с естественной структурой группы, оно обозначается .

Любые два эндоморфизма абелевой группы можно складывать по правилу . С определённым таким образом сложением, эндоморфизмы любой абелевой группы образуют кольцо, называемое кольцом эндоморфизмов. Например, эндоморфизмы свободной абелевой группы  — это кольцо всех матриц с целыми коэффициентами. Эндоморфизмы векторного пространства или модуля также образуют кольцо, как и эндоморфизмы любого объекта предаддитивной категории. Эндоморфизмы коммутативного моноида образуют полукольцо, а эндоморфизмы некоммутативной группы образуют структуру, известную как почтикольцо.

Литература[править | править вики-текст]

  • Jacobson Nathan. Basic algebra. — 2nd. — Dover, 2009. — Vol. 1. — ISBN 978-0-486-47189-1.
  • Маклейн С. Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.