У этого термина существуют и другие значения, см.
Ядро.
Ядро в алгебре — характеристика отображения
, обозначаемая
, отражающая отличие
от инъективного отображения, обычно — множество прообразов некоторого фиксированного (нулевого, единичного, нейтрального) элемента
. Конкретное определение может различаться, однако для инъективного отображения
множество
всегда должно быть тривиально, то есть состоять из одного элемента (как правило, нейтрального элемента из
).
Если множества
и
обладают некоторой структурой (например, являются группами или векторными пространствами), то
также должно обладать этой структурой, при этом различные формулировки основной теоремы о гомоморфизме связывают образ
и фактормножество
.
Ядро линейного отображения
Ядром линейного отображения
называется прообраз нулевого элемента пространства
:
![{\displaystyle \ker f=\{x\in V:f(x)=0\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45a9f49b62f72152763137b6f993ec10cbfc52b9)
является подпространством в
. Оно всегда содержит нулевой элемент пространства
. Согласно основной теореме о гомоморфизме, образ
изоморфен факторпространству
по ядру
:
![{\displaystyle \mathrm {Im} \,f\simeq V/\ker f.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56c32ac8f942cad77b3af43d5d489df2f54d1449)
Соответственно, размерность образа пространства равна разности размерностей пространства и ядра отображения, если размерность
конечна:
![{\displaystyle \dim \mathrm {Im} \,f=\dim V-\dim \ker f,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ed3902d8b5fcbf4301f0e8893a69073b9f9132d)
а прообраз любого вектора определён с точностью до прибавления вектора из ядра:
![{\displaystyle f^{-1}(u)=v_{0}+\ker f,~~~f(v_{0})=u,~~~v_{0}\in V,~u\in U.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a14e7c86c1b700bd71c6d4ba051a8fc39d1fe54b)
Всякий базис ядра называется фундаментальной системой решений.
Теория матриц
Любую прямоугольную матрицу
размера
, содержащую элементы поля
(в частности, вещественные числа), можно рассматривать как линейный оператор
умножения векторов слева на матрицу:
![{\displaystyle g(v)=Gv,~~~v\in \mathbb {K} ^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2f09fb6a6faeb5fe0087736a3d7e1efcef8e214)
Таким образом, результаты теории конечномерных линейных пространств целиком переносятся на работу с матрицами. В частности, систему линейных уравнений с
неизвестными
![{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}a_{11}x_{1}+\ldots +a_{1n}x_{n}=b_{1};\\\ldots ~~\ldots ~~\ldots ~~\\a_{m1}x_{1}+\ldots +a_{mn}x_{n}=b_{m}.\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e1167600493c7e70240e7fc9a5a9a554970952f)
можно рассматривать как задачу поиска прообраза вектора
, а задача о решении однородной системы уравнений (
) сводится к поиску ядра отображения
.
Пример
Пусть
будет линейным отображением
и:
![{\displaystyle f({\vec {x}})={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\0\end{pmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c0af9fa123636dc9b75bcb188170af672232bc7)
Тогда его ядро является векторным подпространством:
![{\displaystyle \ker f=\left\{{\begin{pmatrix}0\\0\\\lambda \end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3}\mid \lambda \in \mathbb {R} \right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bf8db57a527eac4c8ebd875bcbc111b7058ef1f)
Гомоморфизм групп
Если
— гомоморфизм между группами, то
образует нормальную подгруппу
.
Гомоморфизм колец
Если
— гомоморфизм между кольцами, то
образует идеал кольца
.
См. также
Литература
- Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — Москва: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7.