Приведённая масса

Приведённая масса — условная характеристика распределения масс в движущейся механической или смешанной (например, электро-механической) системе, зависящая от физических параметров системы (масс, моментов инерции, индуктивности и др.) и от её закона движения.

Обычно приведенная масса $\mu$ определяется из равенства $T=\mu v^{2}\,/2$, где $T$ — кинетическая энергия системы, а $v$ — скорость той точки системы, к которой приводится масса. В более общем виде приведённая масса является коэффициентом инерции $\mu _{ij}$ в выражении кинетической энергии системы со стационарными связями, положение которой определяется $n$ обобщёнными координатами $r_{i}$:

$2T=\sum _{i,\,j=1}^{n}\mu _{ij}\,{\dot {r_{i}}}{\dot {r_{j}}}\,,$

где точка означает дифференцирование по времени, а $\mu _{ij}\$ есть функции обобщённых координат.

Задача двух тел

В задаче двух тел, возникающей, например, в небесной механике или теории рассеяния, приведённая масса появляется как некая эффективная масса, когда задачу двух тел сводят к двум задачам об одном теле. Рассмотрим два тела: одно с массой $m_{1}\$ и другое с массой $m_{2}\$. В эквивалентной проблеме одного тела рассматривают движение тела с приведённой массой, равной

$\mu ={1 \over {{1 \over m_{1}}+{1 \over m_{2}}}}={{m_{1}m_{2}} \over {m_{1}+m_{2}}}\ ,$

где сила, действующая на эту массу, дается силой, действующей между этими двумя телами. Видно, что приведённая масса равна половине среднего гармонического двух масс.

Приведённая масса всегда меньше каждой из масс $m_{1}\$ или $m_{2}\$ или равна нулю, если одна из масс равна нулю. Пусть масса $m_{2}\$ значительно меньше массы $m_{1}$ ($m_{2}\ll m_{1}$), тогда приближённое выражение для приведенной массы будет

$\mu ={\frac {m_{2}}{1+m_{2}/m_{1}}}\approx m_{2}(1-{\frac {m_{2}}{m_{1}}})\approx m_{\mathrm {2} }\ .$

Механика Ньютона

Используя второй закон Ньютона, можно найти, что воздействие тела 2 на тело 1 задаётся силой

$\mathbf {F} _{12}=m_{1}\mathbf {a} _{1}.$

Тело 1 оказывает влияние на тело 2 посредством силы

$\mathbf {F} _{21}=m_{2}\mathbf {a} _{2}.$

В силу третьего закона Ньютона эти две силы равны и противоположны по направлению:

$\mathbf {F} _{12}=-\mathbf {F} _{21}.$

Таким образом, имеем

$m_{1}\mathbf {a} _{1}=-m_{2}\mathbf {a} _{2}$

или

$\mathbf {a} _{2}=-{m_{1} \over m_{2}}\mathbf {a} _{1}.$

Тогда относительное ускорение между двумя телами будет даваться выражением

$\mathbf {a} =\mathbf {a} _{1}-\mathbf {a} _{2}=\left({1+{m_{1} \over m_{2}}}\right)\mathbf {a} _{1}={{m_{2}+m_{1}} \over {m_{1}m_{2}}}m_{1}\mathbf {a} _{1}={\mathbf {F} _{12} \over \mu }.$

Тогда можно заключить, что тело 1 двигается относительно положения тела 2 (и в поле силового воздействия тела 2) как тело с массой, равной приведённой массе $\mu$.

Механика Лагранжа

Задачу двух тел также можно описывать в лагранжевом подходе. Функция Лагранжа представляет собой разность кинетической и потенциальной энергий. В данной задаче это

$L={1 \over 2}m_{1}\mathbf {\dot {r}} _{1}^{2}+{1 \over 2}m_{2}\mathbf {\dot {r}} _{2}^{2}-V(|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|)$

где $\mathbf {r} _{i}$ — радиус-вектор i-ой частицы с массой $m_{i}$. Потенциальная энергия зависит от расстояния между частицами. Определим вектор

$\mathbf {r} =\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}$,

и пусть центр масс задаёт систему отсчёта

$m_{1}\mathbf {r} _{1}+m_{2}\mathbf {r} _{2}=0$.

Тогда вектора положений масс $m_{i}$ переопределяются как

$\mathbf {r} _{1}={\frac {m_{2}\mathbf {r} }{m_{1}+m_{2}}},\,\,\mathbf {r} _{2}={\frac {-m_{1}\mathbf {r} }{m_{1}+m_{2}}}.$

Тогда новую функцию Лагранжа можно переписать в виде

$L={1 \over 2}\mu \mathbf {\dot {r}} ^{2}-V(r),$

откуда видно, что задача двух тел редуцировалась в задачу движения одного тела.

Применение

Приведенная масса может иметь отношение к более общим алгебраическим выражениям, которые задают взаимосвязь элементов системы и имеют вид

$\ {1 \over x_{\text{eq}}}=\sum _{i=1}^{n}{1 \over x_{i}}={1 \over x_{1}}+{1 \over x_{2}}+\cdots +{1 \over x_{n}}\ ,$

где $x_{i}\$ — характеристика i-го элемента системы (например, сопротивление резистора в параллельной цепи), $x_{eq}\$ — эквивалентная характеристика всей системы n элементов (например, полное сопротивление параллельного участка цепи). Такого рода выражения возникают во многих областях физики.

Понятие приведённой массы может встречаться в инженерных науках, например при расчётах конструкций на ударную нагрузку.

Ссылки

• Приведённая масса на HyperPhysics

См. также

• Задача двух тел