Единичный круг

Не следует путать с единичной окружностью.

Единичный круг — круг радиуса 1, рассматриваемый обычно на комплексной плоскости; «идиоматическая» область в комплексном анализе.

Определение

Единичный круг — открытое подмножество комплексной плоскости, задаваемое неравенством

$|z|<1$ или (что тоже самое), $z{\bar {z}}<1$.

В действительных координатах $x+iy=z$ неравенство выглядит как:

$x^{2}+y^{2}<1$.

Круг связен и односвязен (например, в силу выпуклости). Границей единичного круга является единичная окружность.

Единичный круг обычно обозначается как $\Delta$ или $D$.

Автоморфизмы единичного круга

Основная статья: Преобразования Мёбиуса

С точки зрения конформных отображений, автоморфизмы единичного круга составляют 3-мерную группу Ли, состоящую из дробно-линейных отображений специального вида:

$f(z)=e^{i\varphi }{\frac {z+b}{1+{\bar {b}}z}},\ |b|<1$

Две степени свободы b обеспечиваются возможностью отобразить 0 (центр) в произвольную точку круга, а одна ($\varphi$) — поворотами.

С точки зрения евклидовой геометрии, разумеется, кроме поворотов у круга автоморфизмов (движений) нет.

Модель Пуанкаре

Основная статья: Модель Пуанкаре

Оказывается, что конформные автоморфизмы круга можно рассматривать и как метрические, но если рассмотреть на круге особую (неевклидову) метрику — метрику Пуанкаре:

$ds^{2}=4{\frac {dzd{\bar {z}}}{(1-|z|^{2})^{2}}}=4{\frac {dx^{2}+dy^{2}}{(1-x^{2}-y^{2})^{2}}}.$

Круг оказывается, таким образом, моделью плоскости Лобачевского.

Круг или полуплоскость?

С точки зрения комплексного анализа, в принципе, нет разницы, которую из односвязных областей на плоскости рассматривать — по теореме Римана они все эквивалентны (кроме самой плоскости). Чаще всего используют единичный круг и верхнюю полуплоскость. И единичный круг, и полуплоскость можно рассматривать как половинки сферы Римана, разрезанной большой окружностью.

Однако, для исследований связанных со степенными рядами удобнее рассматривать именно круги (см. круг сходимости).

Другие значения

В принципе, «единичным кругом» можно назвать круг единичного радиуса с центром не обязательно в нуле (начале координат), и не на евклидовой плоскости.