Касательная прямая: различия между версиями
[отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
JAnDbot (обсуждение | вклад) м r2.5.2) (робот добавил: hi, ta изменил: bg, es |
м r2.7.1) (робот добавил: ne:स्पर्श रेखा |
||
Строка 85: | Строка 85: | ||
[[lmo:Tangent]] |
[[lmo:Tangent]] |
||
[[ms:Tangen]] |
[[ms:Tangen]] |
||
[[ne:स्पर्श रेखा]] |
|||
[[nl:Raaklijn]] |
[[nl:Raaklijn]] |
||
[[nn:Tangent]] |
[[nn:Tangent]] |
Версия от 03:32, 18 марта 2012
Каса́тельная пряма́я — прямая, проходящая через точку кривой и совпадающая с ней в этой точке с точностью до первого порядка.
Строгое определение
- Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , и дифференцируема в ней: . Касательной прямой к графику функции в точке называется график линейной функции, задаваемой уравнением
- .
- Если функция имеет в точке бесконечную производную то касательной прямой в этой точке называется вертикальная прямая, задаваемая уравнением
Замечание
Прямо из определения следует, что график касательной прямой проходит через точку . Угол между касательной к кривой и осью Ох удовлетворяет уравнению
где обозначает тангенс, а — коэффициент наклона касательной. Производная в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке.
Касательная как предельное положение секущей
Пусть и Тогда прямая линия, проходящая через точки и задаётся уравнением
Эта прямая проходит через точку для любого и её угол наклона удовлетворяет уравнению
В силу существования производной функции в точке переходя к пределу при получаем, что существует предел
а в силу непрерывности арктангенса и предельный угол
Прямая, проходящая через точку и имеющая предельный угол наклона, удовлетворяющий задаётся уравнением касательной:
Касательная к окружности
Прямая, имеющая одну общую точку с окружностью и лежащая с ней в одной плоскости, называется касательной к окружности.
Свойства
- Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания.
- Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
- Длина отрезка касательной, проведённой к окружности единичного радиуса, взятого между точкой касания и точкой пересечения касательной с радиусом, является тангенсом угла между этим радиусом и направлением от центра окружности на точку касания. «Тангенс» от лат. tangens — «касательная».
Вариации и обобщения
Односторонние полукасательные
- Если существует правая производная то пра́вой полукаса́тельной к графику функции в точке называется луч
- Если существует левая производная то ле́вой полукаса́тельной к графику функции в точке называется луч
- Если существует бесконечная правая производная то правой полукасательной к графику функции в точке называется луч
- Если существует бесконечная левая производная то правой полукасательной к графику функции в точке называется луч