Единичная окружность

Единичная окружность — это окружность с радиусом 1 и центром в начале координат. Понятие единичной окружности можно легко обобщить до n-мерного пространства ($n>2$). В таком случае используется термин «единичная сфера».

Для координат всех точек на окружности, согласно теореме Пифагора, выполняется равенство $x^{2}+y^{2}=1.$

Не следует путать термины «окружность» и «круг»!

• Окружность — геометрическое место точек плоскости, расположенных на данном расстоянии от данной точки — кривая.
• Круг — геометрическое место точек плоскости, расположенных на расстоянии, не превосходящем данное от данной точки — фигура.

Тригонометрические функции

Все тригонометрические функции угла θ могут быть сконструированы геометрически при помощи единичной окружности.

Синус и косинус могут быть описаны следующим образом: соединив любую точку $(x,y)$ на единичной окружности с началом координат $(0,0)$, мы получаем отрезок, находящийся под углом $\alpha$ относительно положительной полуоси абсцисс. Тогда действительно:

$\cos \alpha =x$

$\sin \alpha =y$

Подставив эти значения в вышеуказанное уравнение $x^{2}+y^{2}=1$, мы получаем:

$\cos ^{2}\alpha +\sin ^{2}\alpha =1$

Обратите внимание на общепринятое написание $\cos ^{2}x=(\cos x)^{2}$.

Тут же наглядно описывается периодичность тригонометрических функций, так как угол отрезка не зависит от количества «полных оборотов»:

$\sin(x+2\pi k)=\sin(x)$

$\cos(x+2\pi k)=\cos(x)$

для всех целых чисел $k$, то есть для $k\in \mathbb {Z} .$

Комплексная плоскость

В комплексной плоскости единичная окружность — это следующее множество $G\subset \mathbb {C}$:

$G=\{z:\mathrm {Re} \{z\}^{2}+\mathrm {Im} \{z\}^{2}=1\}=\{z:z=e^{i\phi },0\leq \phi <2\pi \}$

Множество $G$ является подгруппой группы комплексных чисел по умножению, её нейтральный элемент — это $e^{i0}=1$).

См. также

• Единичная сфера
• Единичный квадрат
• Единичный куб