|
|
Строка 74: |
Строка 74: |
|
|
|
|
|
== Транспонирование == |
|
== Транспонирование == |
|
Операции [[транспонирование|транспонирования]] и [[Эрмитово-сопряжённая матрица|эрмитова сопряжения]] является [[Дистрибутивность|дистрибутивными]] относительно произведения Кронекера: |
|
Операции [[Транспонированная матрица|транспонирования]] и [[Эрмитово-сопряжённая матрица|эрмитова сопряжения]] можно переставлять с произведением Кронекера: |
|
: <math>(A\otimes B)^T = A^T \otimes B^T,</math> |
|
: <math>(A\otimes B)^T = A^T \otimes B^T,</math> |
|
: <math>(A\otimes B)^H = A^H \otimes B^H.</math> |
|
: <math>(A\otimes B)^H = A^H \otimes B^H.</math> |
Произведение Кронекера — бинарная операция над матрицами произвольного размера, обозначается . Результатом является блочная матрица.
Произведение Кронекера не следует путать с обычным умножением матриц. Операция названа в честь немецкого математика Леопольда Кронекера.
Определение
Если A — матрица размера m×n, B — матрица размера p×q, тогда произведение Кронекера есть блочная матрица размера mp×nq
В развёрнутом виде
Если A и B представляют собой линейные преобразования V1 → W1 и V2 → W2, соответственно, то A ⊗ B представляет собой тензорное произведение двух отображений, V1 ⊗ V2 → W1 ⊗ W2.
Пример
- .
Билинейность, ассоциативность и некоммутативность
-
- где A, B и C есть матрицы, а k — скаляр.
Если A и B квадратные матрицы, тогда A B и B A являются перестановочно подобными, то есть, P = QT.
Транспонирование
Операции транспонирования и эрмитова сопряжения можно переставлять с произведением Кронекера:
Смешанное произведение
- Если A, B, C и D являются матрицами такого размера, что существуют произведения AC и BD, тогда
- A B является обратимой тогда и только тогда, когда A и B являются обратимыми, и тогда
Сумма и экспонента Кронекера
- Если A — матрица размера n×n, B — матрица размера m×m и — единичная матрица размера k×k тогда можно определить сумму Кронекера как
Спектр, след и определитель
- Если A и B квадратные матрицы размера n и q соответственно. Если λ1, …, λn — собственные значения матрицы A и μ1, …, μq собственные значения матрицы B. Тогда собственными значениями A B являются
Сингулярное разложение и ранг
Ненулевые сингулярные значения матрицы B:
Тогда произведение Кронекера A B имеет rArB ненулевых сингулярных значений
- Ранг матрицы равен количеству ненулевых сингулярных значений,
История
Произведение Кронекера названо в честь Леопольда Кронекера, несмотря даже на то, что существует мало свидетельств о том, что он был первым, кто определил и использовал эту операцию. В прошлом произведение Кронекера иногда называли матрицей Зефусса.