Можно ли услышать форму барабана?

Первый пример двух не конгруэнтных барабанов звучащих одинаково.  Обратите внимание, что фигуры имеют равные площади и периметры.

Можно ли услышать форму барабана?  вопрос сформулированным Липманом Берсом и восходящим к Герману Вейлю, в этой формулировке он появляется в статье Марка Каца опубликованной в 1966 году.

Эта статья сыграла заметную роль в развитии математики в течении десятилетий. За неё Кац был удостоен премии Форда в 1967 году и премии Шовенэ в 1968 году.

Частоты, на которых барабанная перепонка может вибрировать зависит от его формы. Главный вопрос: может ли форма быть однозначно определена, если эти частоты известны? Например это верно если частоты те же, что у квадратного барабана. 

Формулировка

Барабан мыслится как плоская область D граница которой фиксиована. Обозначим через λ_n её n-ое  собственные значения с условием Дирихле на границе для Лапласиана. То есть нас интересуют значения \lambda для которых существует функция u\colon D\to \mathbb R такая, что

${\begin{cases}\Delta u+\lambda u=0\\u|_{\partial D}=0\end{cases}}$

Две области называются изоспектральными, если они имеют одинаковые собственные значения учитывая кратность.

Поэтому вопрос можно переформулировать так: можно ли восстановить D если известны только значения λ_n для всех n? Или, существуют ли две изоспектральные и не конгруэнтные области?

Аналогичные вопросы можно задать про уравнения Лапласа на областях в старших размерностях, также  на Римановых многообразий и для других эллиптических дифференциальных операторов , таких как Коши --- Римана оператор или оператор Дирака. Можно накладывать другие граничные условия, например условие Неймана.

Ответы

==Торы==

Почти сразу, Джон Милнор построил пару 16-мерных торов, которые имеют одинаковые собственные значения, но не изометричны. Позже подобные примеры были построены во всех размерностях начиная с четырёх. При этом в размерности 2 и 3 таких примеров не существует.

==Области на плоскости== В 1992 года Гордон, Уэбб, и Уолперт, построили пару неконгруэнтных изоспектральных невыпуклых многоугольников (см. рисунок).

Доказательство того, что оба региона имеют одинаковые собственные значения использует симметрии и вполне элементарно. Так, ответ на вопрос Каца «форму барабана нельзя услышать полностью».

==Частные утвердительные ответы==

Вместе с тем, многие характеристики этой формы.

*Согласно формуле Вейля, площадь может быть однозначно востановлена по спектру.

* Ответ на вопрос положителен, для выпуклых плоских областей с аналитическими границами.

**Вопрос остаётся открытым для невыпуклых областей с аналитической границей.

*Известно, что множество изоспектральных областей компактно в C^∞-топологии.

*Сфера является спектрально-жёсткой, по теореме Чэна о собственных значениях теоремы сравнения. 

Ссылки

• Abikoff, William (January 1995), "Remembering Lipman Bers" (PDF), Notices of the AMS, 42 (1): 8—18 {{citation}}: |contribution= игнорируется (справка)|contribution= ignored (help)
• Brossard, Jean; Carmona, René (1986). "Can one hear the dimension of a fractal?". Comm. Math. Phys. 104 (1): 103—122. Bibcode:1986CMaPh.104..103B. doi:10.1007/BF01210795.Bibcode:1986CMaPh.104..103B. doi:10.1007/BF01210795. 
• Buser, Peter; Conway, John; Doyle, Peter; Semmler, Klaus-Dieter (1994), "Some planar isospectral domains", International Mathematics Research Notices, 9: 391ff
• Chapman, S.J. (1995). "Drums that sound the same". American Mathematical Monthly (February): 124—138.American Mathematical Monthly (February): 124–138. 
• Giraud, Olivier; Thas, Koen (2010). "Hearing shapes of drums – mathematical and physical aspects of isospectrality". Reviews of Modern Physics. 82 (3): 2213—2255. arXiv:1101.1239. Bibcode:2010RvMP...82.2213G. doi:10.1103/RevModPhys.82.2213."Hearing shapes of drums – mathematical and physical aspects of isospectrality". Reviews of Modern Physics 82 (3): 2213–2255. arXiv:1101.1239. Bibcode:2010RvMP...82.2213G. doi:10.1103/RevModPhys.82.2213. 
• Gordon, Carolyn; Webb, David, "You can't hear the shape of a drum", American Scientist, 84 (January—February): 46—55
• Gordon, C.; Webb, D.; Wolpert, S. (1992), "Isospectral plane domains and surfaces via Riemannian orbifolds", Inventiones Mathematicae, 110 (1): 1—22, Bibcode:1992InMat.110....1G, doi:10.1007/BF01231320
• Ivrii, V. Ja. (1980), "The second term of the spectral asymptotics for a Laplace–Beltrami operator on manifolds with boundary", Funktsional. Anal. i Prilozhen, 14 (2): 25—34 (In Russian).
• Kac, Mark (April 1966). "Can One Hear the Shape of a Drum?" (PDF). American Mathematical Monthly. 73 (4, part 2): 1&ndash23. doi:10.2307/2313748. JSTOR 2313748."Can One Hear the Shape of a Drum?" (PDF). American Mathematical Monthly 73 (4, part 2): 1&ndash23. doi:10.2307/2313748. JSTOR 2313748. 
• Lapidus, Michel L. (1991), "Can one hear the shape of a fractal drum? Partial resolution of the Weyl–Berry conjecture", Geometric analysis and computer graphics (Berkeley, CA, 1988), Math. Sci. Res. Inst. Publ. (17), New York: Springer: 119—126
• Lapidus, Michel L. (1993), "Vibrations of fractal drums, the Riemann hypothesis, waves in fractal media, and the Weyl–Berry conjecture", Ordinary and Partial Differential Equations, Vol IV, Proc. Twelfth Internat. Conf. (Dundee, Scotland,UK, June 1992), Pitman Research Notes in Math. Series, vol. 289, London: Longman and Technical, pp. 126—209 {{citation}}: Неизвестный параметр |editors= игнорируется (|editor= предлагается) (справка)
• Lapidus, M. L.; van Frankenhuysen, M. (2000), Fractal Geometry and Number Theory: Complex dimensions of fractal strings and zeros of zeta functions, Boston: Birkhauser. (Revised and enlarged second edition to appear in 2005.)
• Lapidus, Michel L.; Pomerance, Carl (1993), "The Riemann zeta-function and the one-dimensional Weyl-Berry conjecture for fractal drums", Proc. London Math. Soc. (3), 66 (1): 41—69, doi:10.1112/plms/s3-66.1.41
• Lapidus, Michel L.; Pomerance, Carl (1996), "Counterexamples to the modified Weyl–Berry conjecture on fractal drums", Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 119 (1): 167—178, Bibcode:1996MPCPS.119..167L, doi:10.1017/S0305004100074053
• Milnor, John (1964), "Eigenvalues of the Laplace operator on certain manifolds", Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 51: 542ff, Bibcode:1964PNAS...51..542M, doi:10.1073/pnas.51.4.542, PMC 300113, PMID 16591156
• Sunada, T. (1985), "Riemannian coverings and isospectral manifolds", Ann. of Math. (2), 121 (1): 169—186, doi:10.2307/1971195, JSTOR 1971195
• Zelditch, S. (2000), "Spectral determination of analytic bi-axisymmetric plane domains", Geometric and Functional Analysis, 10 (3): 628—677, doi:10.1007/PL00001633

Внешние ссылки

• Isospectral Drums by Toby Driscoll at the University of Delaware
• Some planar isospectral domains by Peter Buser, John Horton Conway, Peter Doyle, and Klaus-Dieter Semmler
• Drums That Sound Alike by Ivars Peterson at the Mathematical Association of America web site
• Weisstein, Eric W. Isospectral Manifolds (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Benguria, Rafael D. (2001), "Dirichlet eigenvalue", in Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4