Алгоритм фрактального сжатия

Треугольник Серпинского — изображение, задаваемое тремя аффинными преобразованиями

Фрактальное сжатие изображений — алгоритм сжатия изображений c потерями, основанный на применении систем итерируемых функций (как правило являющимися аффинными преобразованиями) к изображениям. Данный алгоритм известен тем, что в некоторых случаях позволяет получить очень высокие коэффициенты сжатия при приемлемом визуальном качестве для реальных фотографий природных объектов. Из-за сложной ситуации с патентованием широкого распространения алгоритм не получил.

Описание

Основа метода фрактального кодирования — это обнаружение самоподобных участков в изображении. Впервые возможность применения теории систем итерируемых функций (англ. Iterated Function System, IFS) к проблеме сжатия изображения была исследована Майклом Барнсли (англ. Michael Barnsley) и Аланом Слоуном (англ. Alan Sloan). Они запатентовали свою идею в 1990 и 1991 годах (U.S. Patent 5,065,447). Арно Жакен (фр. Arnaud Jacquin) представил метод фрактального кодирования, в котором используются системы доменных и ранговых блоков изображения (англ. domain and range subimage blocks) - блоков квадратной формы, покрывающих всё изображение. Этот подход стал основой для большинства методов фрактального кодирования. Он был усовершенствован Ювалом Фишером (англ. Yuval Fisher) и рядом других исследователей.

В соответствии с данным методом изображение разбивается на множество неперекрывающихся ранговых подизображений (англ. range subimages) и определяется множество перекрывающихся доменных подизображений (англ. domain subimages). Для каждого рангового блока алгоритм кодирования находит наиболее подходящий доменный блок и аффинное преобразование, которое переводит этот доменный блок в данный ранговый блок. Структура изображения отображается в систему ранговых блоков, доменных блоков и преобразований.

Идея заключается в следующем: предположим, что исходное изображение является неподвижной точкой некоего сжимающего отображения. Тогда можно вместо самого изображения запомнить каким-либо образом это отображение, а для восстановления достаточно многократно применить это отображение к любому стартовому изображению.

По теореме Банаха, такие итерации всегда приводят к неподвижной точке, то есть к исходному изображению. На практике трудность заключается в отыскании по изображению наиболее подходящего сжимающего отображения и компактном его хранении. Как правило, алгоритмы поиска отображения (то есть алгоритмы сжатия) в значительной степени переборные и требуют большие вычислительные затраты. В то же время, алгоритмы восстановления достаточно эффективны и быстры.

Вкратце, метод, предложенный Барнсли, можно описать следующим образом. Изображение кодируется несколькими простыми преобразованиями (в нашем случае аффинными), то есть определяется коэффициентами этих преобразований (в нашем случае A, B, C, D, E, F).

Например, изображение кривой Коха можно закодировать четырьмя аффинными преобразованиями, однозначно определив его с помощью всего 24-х коэффициентов.

Далее, поставив чёрную точку в любой точке картинки, применим преобразования в случайном порядке некоторое (достаточно большое) число раз (этот метод ещё называют фрактальным пинг-понгом).

В результате точка обязательно перейдёт куда-то внутрь чёрной области на исходном изображении. После применения такой операции много раз будет заполнено всё чёрное пространство, что восстановит картинку.

Сложность метода

Основная сложность фрактального сжатия заключается в том, что для нахождения соответствующих доменных блоков требуется полный перебор. Каждый раз необходимо сравнивать два массива, что делает эту операцию длительной. Преобразование данной операции к операции скалярного произведения двух массивов немного упрощает процесс, но вычисление самого скалярного произведения все равно требует дополнительного времени.

Существует большое количество алгоритмов оптимизации перебора, который возникает при фрактальном сжатии. Большинство статей, посвященных этой проблеме, были выпущены в период активных исследований (1992—1996 года), и выходило до 300 статей в год. Наиболее эффективными считаются два направления исследований: метод выделения особенностей (feature extraction) и метод классификации доменов (classification of domains).

Патенты

Майклом Барнсли и другими было получено несколько патентов на фрактальное сжатие в США и других странах. Например, 4,941,193, 5,065,447, 5,384,867, 5,416,856 и 5,430,812. Эти патенты покрывают широкий спектр возможных изменений фрактального сжатия и серьёзно сдерживают его развитие.

Данные патенты не ограничивают исследования в этой области, то есть можно придумывать свои алгоритмы на основе запатентованных и публиковать их. Также можно продавать алгоритмы в страны, на которые не распространяются полученные патенты. Кроме того, срок действия большинства патентов — 17 лет с момента принятия, и он истекает для большинства патентов после 2020 года, соответственно, использование методов, покрывавшихся этими патентами, станет гарантированно свободным.

См. также

• Фрактал
• JPEG 2000
• Список фракталов по размерности Хаусдорфа
• Сжатие изображений на базе дифференциального анализа

Ссылки

• Resources on fractal compression
• Коллекция статей по фрактальному сжатию: Fractal Papers Leipzig Collection
• Fractal Image Compression for Spaceborne Transputers  (недоступная ссылка с 18-05-2013 [4200 дней] — история)
• Pulcini and Verrando’s Compressor
• Сообщество фрактального сжатия изображений