Винеровский процесс

Винеровский процесс в теории случайных процессов — это математическая модель броуновского движения или случайного блуждания с непрерывным временем.

Определение

Случайный процесс $W_t$, где $t \ge 0$ называется винеровским процессом, если

1. $W_0 = 0$ почти наверное.
2. $W_t$ — процесс с независимыми приращениями.
3. $W_t - W_s \sim \mathrm{N}(0,\sigma^{2}(t-s))~$, для любых $0\le s < t < \infty$, где $\mathrm{N}(0,\sigma^{2}(t-s))$ обозначает нормальное распределение со средним $0$ и дисперсией $\sigma^{2}(t-s)$. Величину $\sigma^2$ постоянную для процесса далее будем считать равной $1$.

Непрерывность траекторий

Существует единственный винеровский процесс такой, что почти все его траектории всюду непрерывны. Поскольку обычно рассматривают именно этот процесс, то часто условие непрерывности траекторий включают в определение винеровского процесса.

Свойства винеровского процесса

• $W_t$ — гауссовский процесс.
• $W_t$ — марковский процесс.
• $W_t \sim \mathrm{N}(0,t)~$. Соответственно $\mathbb{E}[W_t] = 0$ и $\mathrm{D}[W_t] = t$.

• $\mathrm{cov}(W_s,W_t) = \min(s,t)$.

Демонстрация масштабной инвариантности винеровского процесса $V_t = (1/\sqrt c) W_{ct}$ при уменьшении c.

• Винеровский процесс масштабно инвариантен или самоподобен. Если $W_t$ — винеровский процесс, и $c > 0$, то

$V_t = \frac{1}{\sqrt{c}} W_{ct}$

также является винеровским процессом.

• Корреляционная функция для производной винеровского процесса является дельта-функцией.

• Траектории винеровского процесса нигде не дифференцируемы почти наверное. Производная (в обобщенном смысле) винеровского процесса - нормальный белый шум.

• Для любого заданного отрезка траектории винеровского процесса — функции неограниченной вариации на этом отрезке почти наверное

• Для винеровского процесса справедлив закон повторного логарифма

$\limsup\limits_{t\rightarrow\infty}\frac{W_t}{\sqrt{2t\ln\ln t}}=1$ почти наверное.

Многомерный винеровский процесс

Многомерный ($n$-мерный) винеровский процесс $\mathbf{W}_t$ — это $\mathrm{R}^n$-значный случайный процесс, составленный из $n$ независимых одномерных винеровских процессов, то есть

$\mathbf{W}_t = \left( W^1_t,\ldots, W^n_t\right)^{\top}, \quad t \ge 0$,

где процессы $\left\{W^i_t\right\},\; i = 1,\ldots,n$ совместно независимы.

Связь с физическими процессами

Винеровский процесс описывает броуновское движение частицы, совершающей беспорядочные перемещения под влиянием ударов молекул жидкости. Константа $\sigma^2$ при этом зависит от массы частицы и вязкости жидкости.

Ссылки

• Стохастический мир — простое введение в стохастические дифференциальные уравнения

См. также

• Норберт Винер
• Формула Фейнмана — Каца