Винеровский процесс

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Винеровский процесс в теории случайных процессов — это математическая модель броуновского движения или случайного блуждания с непрерывным временем.

Определение[править | править вики-текст]

Случайный процесс  W_t , где  t \ge 0 называется винеровским процессом, если

  1. W_0 = 0 почти наверное.
  2. W_tпроцесс с независимыми приращениями.
  3. W_t - W_s \sim \mathrm{N}(0,\sigma^{2}(t-s))~, для любых 0\le s < t < \infty, где \mathrm{N}(0,\sigma^{2}(t-s)) обозначает нормальное распределение со средним 0 и дисперсией \sigma^{2}(t-s). Величину \sigma^2 постоянную для процесса далее будем считать равной  1.

Непрерывность траекторий[править | править вики-текст]

Существует единственный винеровский процесс такой, что почти все его траектории всюду непрерывны. Поскольку обычно рассматривают именно этот процесс, то часто условие непрерывности траекторий включают в определение винеровского процесса.

Свойства винеровского процесса[править | править вики-текст]

  • \mathrm{cov}(W_s,W_t) = \min(s,t).
Демонстрация масштабной инвариантности винеровского процесса V_t = (1/\sqrt c) W_{ct} при уменьшении c.
V_t = \frac{1}{\sqrt{c}} W_{ct}

также является винеровским процессом.

  • Корреляционная функция для производной винеровского процесса является дельта-функцией.
  • Траектории винеровского процесса нигде не дифференцируемы почти наверное. Производная (в обобщенном смысле) винеровского процесса - нормальный белый шум.
  • Для любого заданного отрезка траектории винеровского процесса — функции неограниченной вариации на этом отрезке почти наверное
\limsup\limits_{t\rightarrow\infty}\frac{W_t}{\sqrt{2t\ln\ln t}}=1 почти наверное.

Многомерный винеровский процесс[править | править вики-текст]

Многомерный (n-мерный) винеровский процесс \mathbf{W}_t — это \mathrm{R}^n-значный случайный процесс, составленный из n независимых одномерных винеровских процессов, то есть

\mathbf{W}_t = \left( W^1_t,\ldots, W^n_t\right)^{\top}, \quad t \ge 0 ,

где процессы \left\{W^i_t\right\},\; i = 1,\ldots,n совместно независимы.

Связь с физическими процессами[править | править вики-текст]

Винеровский процесс описывает броуновское движение частицы, совершающей беспорядочные перемещения под влиянием ударов молекул жидкости. Константа \sigma^2 при этом зависит от массы частицы и вязкости жидкости.

Ссылки[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]