Вписанно-описанный четырёхугольник

Поризм Понселе для вписанно-описанных четырёхугольников ABCD и EFGH

Вписанно-описанный четырёхугольник — это выпуклый четырёхугольник, который имеет как вписанную окружность, так и описанную окружность. Из определения следует, что вписанно-описанные четырёхугольники имеют все свойства как описанных четырёхугольников, так и вписанных четырёхугольников. Другие названия этих четырёхугольников: хордо-касающийся четырёхугольник и бицентрический четырёхугольник. Их также называют двух-окружностными четырёхугольниками.

Если две окружности, одна внутри другой, являются вписанной окружностью и описанной окружностью некоторого четырёхугольника, то любая точка на описанной окружности является вершиной какого-то (возможно, другого) вписанно-описанного четырёхугольника, имеющего те же самые вписанные и описанные окружности. Это следствие поризма Понселе, который доказал французский математик Жан-Виктор Понселе (1788–1867).

Специальные случаи

Прямоугольный дельтоид

Примерами вписанно-описанных четырёхугольников являются квадраты, прямоугольные дельтоиды и равнобокие описанные трапеции.

Описание

Вписанно-описанный четырёхугольник ABCD и его контактный четырёхугольник WXYZ

Выпуклый четырёхугольник ABCD со сторонами a, b, c, d является бицентрическим тогда и только тогда, когда противоположные стороны удовлетворяют теореме Пито для описанных четырёхугольников и свойству вписанных четырёхугольников, что противоположные углы в сумме дают 180 градусов, то есть

${\begin{cases}a+c=b+d\\A+C=B+D=\pi .\end{cases}}$

Три других описания касаются точек, в которых вписанная окружность в описанном четырёхугольнике касается сторон. Если вписанная окружность касается сторон AB, BC, CD и DA в точках W, X, Y и Z соответственно, то описанный четырёхугольник ABCD является также и описанным в том и только в том случае, когда выполняется любое из следующих трёх условий:

• Отрезок WY перпендикулярен XZ
• ${\frac {AW}{WB}}={\frac {DY}{YC}}$
• ${\frac {AC}{BD}}={\frac {AW+CY}{BX+DZ}}$

Первое из этих трёх условий означает, что контактный четырёхугольник WXYZ является ортодиагональным четырёхугольником.

Если E, F, G, H являются серединами WX, XY, YZ, ZW соответственно, то описанный четырёхугольник ABCD также является описанным тогда и только тогда, когда четырёхугольник EFGH является прямоугольником.

Согласно другому описанию, если I является центром вписанной окружности описанного четырёхугольника, у которого продолжения противоположных сторон пересекаются в точках J и K, то четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, когда JIK является прямым углом.

Ещё одним необходимым и достаточным условием является то, что описанный четырёхугольник ABCD является описанным тогда и только тогда, когда его прямая Гаусса перпендикулярна прямой Гаусса его контактного четырёхугольника WXYZ. (Прямая Гаусса четырёхугольника определяется средними точками его диагоналей.)

Построение

Вписанно-описанный четырёхугольник ABCD с контактным четырёхугольником WXYZ. Анимацию смотрите здесь

Имеется простой метод построения бицентрического четырёхугольника:

Построение начинается с вписанной окружности C_r с центром I и радиусом r, затем рисуем две перпендикулярные друг другу хорды WY и XZ во вписанной окружности C_r. На концах хорд проводим касательные a, b, c и d к вписанной окружности. Они пересекаются в точках A, B, C and D, которые являются вершинами вписанно-описанного четырёхугольника. Чтобы нарисовать описанную окружность, рисуем два серединных перпендикуляра p₁ и p₂ к сторонам вписанно-описанного четырёхугольника a и b соответственно. Они пересекаются в центре O описанной окружности C_R на расстоянии x от центра I вписанной окружности C_r.

Справедливость этого построения вытекает из факта, что в описанном четырёхугольнике ABCD контактный четырёхугольник WXYZ имеет перпендикулярные диагонали тогда и только тогда, когда описанный четырёхугольник является также вписанным.

Площадь

Формулы в терминах четырёх величин

Площадь K вписанно-описанного четырёхугольника можно выразить в терминах четырёх величин четырёхугольника несколькими способами. Если a, b, c и d являются сторонами, то площадь задаётся формулой

$\displaystyle K={\sqrt {abcd}}.$

Это частный случай формулы Брахмагупты. Формулу можно получить и прямо из тригонометрической формулы площади описанного четырёхугольника. Заметим, что обратное не выполняется — некоторые четырёхугольники, не являющиеся бицентрическими, также имеют площадь $\displaystyle K={\sqrt {abcd}}.$. Примером такого четырёхугольника служит прямоугольник (с разными сторонами, не квадрат).

Площадь может быть выражена в терминах отрезков от вершины до точки касания (для краткости будем называть эти длины касательными длинами) e, f, g, h

$K={\sqrt[{4}]{efgh}}(e+f+g+h).$

Формула площади вписанно-описанного четырёхугольника ABCD с центром вписанной окружности I

$K=AI\cdot CI+BI\cdot DI.$

Если вписанно-описанный четырёхугольник имеет касательные хорды k, l и диагонали p, q, тогда он имеет площадь

$K={\frac {klpq}{k^{2}+l^{2}}}.$

Если k, l являются касательными хордами и m, n являются бимедианами четырёхугольника, тогда площадь может быть вычислена с помощью формулы.

$K=\left|{\frac {m^{2}-n^{2}}{k^{2}-l^{2}}}\right|kl$

Формула не может быть использована, если четырёхугольник является прямоугольным дельтоидом, поскольку в этом случае знаменатель равен нулю.

Если M и N являются серединами диагоналей, а E и F являются точками пересечения продолжения сторон, то площадь вписанно-описанного четырёхугольника задаётся формулой

$K={\frac {2MN\cdot EI\cdot FI}{EF}}$,

где I является центром вписанной окружности.

Формулы в терминах трёх величин

Площадь вписанно-описанного четырёхугольника можно выразить в терминах двух противоположных сторон и угла θ между диагоналями согласно формуле

$K=ac\mathrm {tg} \,{\frac {\theta }{2}}=bd\mathrm {ctg} \,{\frac {\theta }{2}}.$

В терминах двух смежных углов и радиуса r вписанной окружности площадь площадь задаётся формулой

$K=2r^{2}\left({\frac {1}{\sin {A}}}+{\frac {1}{\sin {B}}}\right).$

Площадь задаётся в терминах радиуса R описанной окружности и радиуса r вписанной окружности как

$K=r(r+{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}})\sin \theta$

где θ является любым из углов между диагоналями.

Если M и N являются средними точками диагоналей, а E и F являются точками пересечения продолжений противоположных сторон, площадь можно выразить формулой

$K=2MN{\sqrt {EQ\cdot FQ}}$,

где Q является основанием перпендикуляра на прямую EF из центра вписанной окружности.

Неравенства

Если r и R являются радиусом вписанной окружности и радиусом описанной окружности соответственно, тогда площадь K удовлетворяет двойному неравенству

$\displaystyle 4r^{2}\leqslant K\leqslant 2R^{2}.$

Равенство получим, только если четырёхугольник является квадратом.

Другим неравенством для площади будет

$K\leqslant {\tfrac {4}{3}}r{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}$,

где r и R являются радиусом вписанной окружности и радиусом описанной окружности соответственно.

Похожее неравенство, дающее более точную верхнюю границу для площади, чем предыдущее

$K\leqslant r(r+{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}})$

и равенство достигается тогда и только тогда, когда четырёхугольник является прямоугольным дельтоидом.

Кроме того, со сторонами a, b, c, d и полупериметром s:

$2{\sqrt {K}}\leqslant qs\leqslant r+{\sqrt {r^{2}+4R^{2}}};$

$6K\leqslant ab+ac+ad+bc+bd+cd\leqslant 4r^{2}+4R^{2}+4r{\sqrt {r^{2}+4R^{2}}};$

$4Kr^{2}\leqslant abcd\leqslant {\frac {16}{9}}r^{2}(r^{2}+4R^{2}).$

Формулы углов

Если a, b, c и d являются длинами сторон AB, BC, CD и DA соответственно во вписанно-описанном четырёхугольнике ABCD, то его углы в вершинах можно вычислить с помощью тангенса:

$\mathrm {tg} \,{\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {bc}{ad}}}=\mathrm {ctg} \,{\frac {C}{2}},$

$\mathrm {tg} \,{\frac {B}{2}}={\sqrt {\frac {cd}{ab}}}=\mathrm {ctg} \,{\frac {D}{2}}.$

Если использовать те же обозначения, выполняются следующие формулы для синусов и косинусов:

$\sin {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {bc}{ad+bc}}}=\cos {\frac {C}{2}},$

$\cos {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {ad}{ad+bc}}}=\sin {\frac {C}{2}},$

$\sin {\frac {B}{2}}={\sqrt {\frac {cd}{ab+cd}}}=\cos {\frac {D}{2}},$

$\cos {\frac {B}{2}}={\sqrt {\frac {ab}{ab+cd}}}=\sin {\frac {D}{2}}.$

Угол θ между диагоналями можно вычислить из формулы.

$\displaystyle \mathrm {tg} \,{\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {bd}{ac}}}.$

Радиус вписанной окружности и радиус описанной окружности

Радиус вписанной окружности r вписанно-описанного четырёхугольника определяется сторонами a, b, c, d по формуле

$\displaystyle r={\frac {\sqrt {abcd}}{a+c}}={\frac {\sqrt {abcd}}{b+d}}.$

Радиус описанной окружности R является частным случаем формулы Парамешвары

$\displaystyle R={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{abcd}}}.$

Радиус вписанной окружности можно выразить также в терминах последовательных касательных длин e, f, g, h согласно формуле.

$\displaystyle r={\sqrt {eg}}={\sqrt {fh}}.$

Эти две формулы, фактически, являются необходимыми и достаточными условиями для описанного четырёхугольника с радиусом вписанной окружности r быть вписанным.

Четыре стороны a, b, c, d вписанно-описанного четырёхугольника являются решениями уравнения четвёртой степени

$y^{4}-2sy^{3}+(s^{2}+2r^{2}+2r{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}})y^{2}-2rs({\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}+r)y+r^{2}s^{2}=0$,

где s является полупериметром, а r и R являются радиусом вписанной окружности и радиусом описанной окружности соответственно.

Если имеется вписанно-описанный четырёхугольник с радиусом вписанной окружности r, касательные длины которых равны e, f, g, h, то существует вписанно-описанный четырёхугольник с радиусом вписанной окружности r^v, касательные длины которых равны $e^{v},f^{v},g^{v},h^{v}$, где v могут быть любым вещественным числом.

Вписанно-описанный четырёхугольник имеет больший радиус вписанной окружности, чем любой другой описанный четырёхугольник, имеющий те же длины сторон в той же последовательности.

Неравенства

Радиус описанной окружности R и радиус вписанной окружности r удовлетворяют неравенству

$R\geqslant {\sqrt {2}}r$,

которое доказал Л. Фейеш Тот в 1948. Неравенство превращается в равенство, только если две окружности концентричны (центры совпадают). В этом случае четырёхугольник является квадратом. Неравенство можно доказать несколькими различными путями, один из путей использует двойное неравенство для площади выше.

Обобщением предыдущего неравенства является.

${\frac {r{\sqrt {2}}}{R}}\leqslant {\frac {1}{2}}\left(\sin {\frac {A}{2}}\cos {\frac {B}{2}}+\sin {\frac {B}{2}}\cos {\frac {C}{2}}+\sin {\frac {C}{2}}\cos {\frac {D}{2}}+\sin {\frac {D}{2}}\cos {\frac {A}{2}}\right)\leqslant 1$,

где неравенство превращается в равенство тогда и только тогда, когда четырёхугольник является квадратом.

Полупериметр s вписанно-описанного четырёхугольника удовлетворяет

${\sqrt {8r\left({\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}-r\right)}}\leqslant s\leqslant {\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}+r$,

где r и R являются радиусом вписанной окружности и радиусом описанной окружности соответственно.

Более того,

$2sr^{2}\leqslant abc+abd+acd+bcd\leqslant 2r(r+{\sqrt {r^{2}+4R^{2}}})^{2}$

и

$abc+abd+acd+bcd\leqslant 2{\sqrt {K}}(K+2R^{2}).$

Расстояние между центром вписанной окружности и центром описанной окружностей

Вписанно-описанный четырёхугольник ABCD с центром вписанной окружности I и центром описанной окружности O

Теорема Фусса

Теорема Фусса даёт связь между радиусом вписанной окружности r, радиусом описанной окружности R и расстоянием x между центром вписанной окружности I и центром описанной окружности O, для любого бицентрического четырёхугольника. Связь задаётся формулой.

${\frac {1}{(R-x)^{2}}}+{\frac {1}{(R+x)^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}},$

Или, эквивалентно,

$\displaystyle 2r^{2}(R^{2}+x^{2})=(R^{2}-x^{2})^{2}.$

Формулу вывел Николай Иванович Фусс (1755–1826) в 1792. Решая относительно x, получим

$x={\sqrt {R^{2}+r^{2}-r{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}}}.$

Теорема Фусса для вписанно-описанных четырёхугольников, которая является аналогом теоремы Эйлера для треугольников, утверждает, что если четырёхугольник бицентрический, то его две ассоциированных окружности связаны приведённой выше формулой. Фактически, обратное также выполняется — если даны две окружности (одна внутри другой) с радиусами R и r и расстояние x между их центрами удовлетворяет условию теоремы Фусса, существует выпуклый четырёхугольник, вписанный в одну из окружностей, а другая окружность будет вписана в четырёхугольник (а тогда, по теореме Понселе, существует бесконечно много таких четырёхугольников).

Если использовать факт, что $x^{2}\geqslant 0$ в выражении теоремы Фусса, получим другим способом уже упомянутое неравенство $R\geqslant {\sqrt {2}}r.$ Обобщением неравенства будет

$2r^{2}+x^{2}\leqslant R^{2}\leqslant 2r^{2}+x^{2}+2rx.$

Тождество Карлица

Другая формула расстояния x между центрами вписанной окружности и описанной окружности принадлежит американскому математику Леонарду Карлицу (1907–1999). Формула утверждает, что.

$\displaystyle x^{2}=R^{2}-2Rr\cdot \mu$,

где r и R являются радиусом вписанной окружности и радиусом описанной окружности соответственно, и

$\displaystyle \mu ={\sqrt {\frac {(ab+cd)(ad+bc)}{(a+c)^{2}(ac+bd)}}}={\sqrt {\frac {(ab+cd)(ad+bc)}{(b+d)^{2}(ac+bd)}}}$,

где a, b, c, d являются сторонами вписанно-описанного четырёхугольника.

Неравенства для касательных длин и сторон

Для касательных длин e, f, g, h выполняются следующие неравенства:

$4r\leqslant e+f+g+h\leqslant 4r\cdot {\frac {R^{2}+x^{2}}{R^{2}-x^{2}}}$

и

$4r^{2}\leqslant e^{2}+f^{2}+g^{2}+h^{2}\leqslant 4(R^{2}+x^{2}-r^{2})$,

где r является радиусом вписанной окружности, R является радиусом описанной окружности, а x является расстоянием между центрами этих окружностей. Стороны a, b, c, d удовлетворяют неравенствам

$8r\leqslant a+b+c+d\leqslant 8r\cdot {\frac {R^{2}+x^{2}}{R^{2}-x^{2}}}$

и

$4(R^{2}-x^{2}+2r^{2})\leqslant a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\leqslant 4(3R^{2}-2r^{2}).$

Другие свойства центра вписанной окружности

Центр описанной окружности, центр вписанной окружности и точка пересечения диагоналей во вписанно-описанном четырёхугольнике коллинеарны.

Есть следующее равенство относительно четырёх расстояний между центром вписанной окружности I и вершинами бицентрического четырёхугольника ABCD:

${\frac {1}{AI^{2}}}+{\frac {1}{CI^{2}}}={\frac {1}{BI^{2}}}+{\frac {1}{DI^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}}$,

где r — радиус вписанной окружности.

Если точка P является пересечением диагоналей во вписанно-описанном четырёхугольнике ABCD с центром вписанной окружности I, то

${\frac {AP}{CP}}={\frac {AI^{2}}{CI^{2}}}.$

Есть неравенство для радиуса r вписанной окружности и радиуса описанной окружности R во вписанно-описанном четырёхугольнике ABCD

$4r^{2}\leqslant AI\cdot CI+BI\cdot DI\leqslant 2R^{2}$,

где I является центром вписанной окружности.

Свойства диагоналей

Длины диагоналей во вписанно-описанном четырёхугольнике можно выразить терминах сторон или касательных длин. Эти формулы верны для вписанных четырёхугольников и описанных четырёхугольников соответственно.

Во вписанно-описанном четырёхугольнике с диагоналями p и q выполняется тождество:

$\displaystyle {\frac {pq}{4r^{2}}}-{\frac {4R^{2}}{pq}}=1$,

где r и R являются радиусом вписанной окружности и радиусом описанной окружности соответственно. Это тождество можно переписать как

$r={\frac {pq}{2{\sqrt {pq+4R^{2}}}}}$

или, решив его как квадратное уравнение относительно произведения диагоналей, получим

$pq=2r\left(r+{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}\right).$

Есть неравенство для произведения диагоналей p, q во вписанно-описанном четырёхугольнике

$\displaystyle 8pq\leqslant (a+b+c+d)^{2}$,

где a, b, c, d — стороны. Неравенство доказал Мюррей С. Кламкин в 1967.

См. также

• Вписанно-описанный многоугольник
• Внеописанный четырёхугольник