Ортодиагональный четырёхугольник

Ортодиагональный четырёхугольник. Согласно описанию этих четырёхугольников, два красных квадрата на двух противоположных сторонах четырёхугольника дают в сумме ту же площадь, что и два синих квадрата на другой паре сторон.

В евклидовой геометрии ортодиагональный четырёхугольник — это четырёхугольник, в котором диагонали пересекаются под прямым углом.

Специальные случаи

Дельтоид является ортодиагональным четырёхугольником, в котором одна диагональ является осью симметрии. Дельтоиды — это в точности ортодиагональные четырёхугольники, имеющие окружность, касающуюся всех четырёх сторон. Таким образом, дельтоиды являются описанными ортодиагональными четырёхугольниками.

Ромб — это ортодиагональный четырёхугольник с двумя парами параллельных сторон (т.е. ортодиагональный четырёхугольник и параллелограмм одновременно).

Квадрат — это частный случай ортодиагонального четырёхугольника, который является одновременно и дельтоидом, и ромбом.

Ортодиагональные равнодиагональные четырёхугольники, в которых диагонали не меньше любой стороны, имеют максимальный диаметр среди всех четырёхугольников, что решает случай n = 4 задачи наибольшего по площади многоугольника единичного диаметра. Квадрат является одним из таких четырёхугольников, но есть бесконечно много других.

Описание

Ортодиагональный четырёхугольник. Параллелограмм Вариньона выделен красным (M₁₂ M₂₃ M₃₄ M₄₁, где M_xy является серединой отрезка [B_x, B_y]).
Антимедиатрисы выделены синим (основанием антимедиатрисы, опущенной из M_xy является точка A_xy).
Середины сторон и основания антимедиатрис лежат на одной окружности. На рисунке точка O — центр этой окружности.

Для любого ортодиагонального четырёхугольника суммы квадратов противоположных сторон равны — для сторон a, b, c и d мы имеем:

$\displaystyle a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}.$

Это следует из теоремы Пифагора, по которой любая из этих двух сумм равна сумме четырёх квадратов расстояний от вершин четырёхугольника до точки пересечения диагоналей.

Обратно — любой четырёхугольник, в котором a² + c² = b² + d², должен быть ортодиагональным . Это можно показать разными путями, используя теорему косинусов, вектора, доказательство от противного и комплексные числа .

Диагонали выпуклого четырёхугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда бимедианы имеют одинаковую длину.

Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD перпендикулярны также тогда и только тогда, когда

$\angle PAB+\angle PBA+\angle PCD+\angle PDC=\pi$,

где P — точка пересечения диагоналей. Из этого равенства следует почти немедленно, что диагонали выпуклого четырёхугольника перпендикулярны также тогда и только тогда, когда проекции пересечения диагоналей на стороны четырёхугольника являются вершинами вписанного четырёхугольника.

Ортодиагональный четырёхугольник. Нормали к сторонам треугольника (перпендикуляры из точки пересечения диагоналей на стороны четырёхугольника) выделены синим цветом, точки K, L, M, N — основания нормалей.
Прямоугольник, образованный точками пересечения нормалей с противоположными сторонами, выделен красным цветом (вершины прямоугольника — R, S, T, U.
Основания нормалей и пересечения нормалей с противолежащими сторонами лежат на одной окружности. На рисунке точка O — центр этой окружности.

Выпуклый четырёхугольник ортодиагонален тогда и только тогда, когда его параллелограмм Вариньона (вершинами которого служат середины сторон) является прямоугольником. Также выпуклый четырёхугольник ортодиагонален тогда и только тогда, когда середины его сторон и основания четырёх антимедиатрис являются восемью точками, лежащими на одной окружности, окружности восьми точек. Центр этой окружности является центроидом четырёхугольника. Четырёхугольник, образованный основаниями антимедиатрис, называется главным орточетырёхугольником.

Если нормали к сторонам выпуклого четырёхугольника ABCD через пересечение диагоналей пересекают противоположные стороны в точках R, S, T, U, а K, L, M, N — основания нормалей, то четырёхугольник ABCD ортодиагонален тогда и только тогда, когда восемь точек K, L, M, N, R, S, T и U лежат на одной окружности, второй окружности восьми точек. Кроме того, выпуклый четырёхугольник ортодиагонален тогда и только тогда, когда четырёхугольник RSTU является прямоугольником, стороны которого параллельны диагоналям четырёхугольника ABCD.

Ортодиагональный четырёхугольник. Нормали к сторонам треугольника выделены синим цветом, точки K, L, M, N — основания нормалей.
Медианы выделены красным. Основания медиан являются центрами описанных окружностей.

Есть несколько соотношений относительно четырёх треугольников, образованных точкой пересечения диагоналей P и вершинами выпуклого четырёхугольника ABCD. Обозначим через m₁, m₂, m₃, m₄ медианы в треугольниках ABP, BCP, CDP, DAP из P на стороны AB, BC, CD, DA соответственно. Обозначим через R₁, R₂, R₃, R₄ радиусы описанных окружностей, а через h₁, h₂, h₃, h₄ — высоты этих треугольников. Тогда четырёхугольник ABCD ортодиагонален тогда и только тогда, когда выполняется любое из следующих равенств:

• $m_{1}^{2}+m_{3}^{2}=m_{2}^{2}+m_{4}^{2}$
• $R_{1}^{2}+R_{3}^{2}=R_{2}^{2}+R_{4}^{2}$
• ${\frac {1}{h_{1}^{2}}}+{\frac {1}{h_{3}^{2}}}={\frac {1}{h_{2}^{2}}}+{\frac {1}{h_{4}^{2}}}$

Более того, четырёхугольник ABCD с точкой пересечения диагоналей P ортодиагонален тогда и только тогда, когда центры описанных вокруг треугольников ABP, BCP, CDP и DAP окружностей являются серединами сторон четырёхугольника.

Сравнение с описанным четырёхугольником

Некоторые числовые характеристики описанных четырёхугольников и ортодиагональных четырёхугольников очень похожи, что видно в следующей таблице. Здесь длины сторон четырёхугольника равны a, b, c, d, радиусы описанных окружностей вокруг треугольников равны R₁, R₂, R₃, R₄, а высоты равны h₁, h₂, h₃, h₄ (как на рисунке).

Описанный четырёхугольник	Ортодиагональный четырёхугольник
$a+c=b+d$	$a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}$
$R_{1}+R_{3}=R_{2}+R_{4}$	$R_{1}^{2}+R_{3}^{2}=R_{2}^{2}+R_{4}^{2}$
${\frac {1}{h_{1}}}+{\frac {1}{h_{3}}}={\frac {1}{h_{2}}}+{\frac {1}{h_{4}}}$	${\frac {1}{h_{1}^{2}}}+{\frac {1}{h_{3}^{2}}}={\frac {1}{h_{2}^{2}}}+{\frac {1}{h_{4}^{2}}}$

Площадь

Площадь K ортодиагонального четырёхугольника равна половине произведения длин диагоналей p и q:

$K={\frac {p\cdot q}{2}}.$

Обратно — любой выпуклый четырёхугольник, площадь которого равна половине произведения диагоналей, ортодиагонален. Ортодиагональный четырёхугольник имеет наибольшую площадь среди всех выпуклых четырёхугольников с данными диагоналями.

Другие свойства

• Только для ортодиагональных четырёхугольников площадь не определяется однозначно сторонами и углом между диагоналями. Например, если из двух ромбов со сторонами a (как у всех ромбов, у них диагонали перпендикулярны) один имеет меньший острый угол, то площади будут различными.
• Если на сторонах любого четырёхугольника (выпуклого, вогнутого или самопересекающегося) нарисовать квадраты, то их центры будут вершинами ортодиагонального четырёхугольника (к тому же и равнодиагонального). Это утверждение носит название теоремы Ван-Обеля.

Свойства ортодиагонального вписанного четырёхугольника

Радиус описанной окружности и площадь

Пусть во вписанном в окружность ортодиагональном четырёхугольнике точка пересечения диагоналей делит одну из диагоналей на отрезки длиной p₁ и p₂, а другую — на отрезки длиной q₁ и q₂. Тогда (первое равенство в Утверждении 11 в книге Архимеда «Леммы»)

$D^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}=a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}$,

где D — диаметр описанной окружности. Это выполняется для любых двух перпендикулярных хорд окружности. Из этой формулы вытекает выражение для радиуса описанной окружности

$R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}}}$

или, в терминах сторон четырёхугольника,

$R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {b^{2}+d^{2}}}.$

Отсюда также следует, что

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=8R^{2}.$

Тогда, согласно формуле Эйлера, радиус описанной окружности может быть выражен в терминах диагоналей p и q и расстоянию x между серединами диагоналей

$R={\sqrt {\frac {p^{2}+q^{2}+4x^{2}}{8}}}.$

Формула для площади K вписанного ортодиагонального четырёхугольника в терминах четырёх сторон получается непосредственно, если скомбинировать теорему Птолемея и формулу площади ортодиагонального четырёхугольника.

$K={\tfrac {1}{2}}(ac+bd).$

Другие свойства

• Во вписанном ортодиагональном четырёхугольнике антицентр совпадает с точкой пересечения диагоналей.
• Теорема Брахмагупты утверждает, что для любого вписанного ортодиагонального четырёхугольника перпендикуляр к стороне, проходящий через точку пересечения диагоналей, делит пополам противоположную сторону.
• Если ортодиагональный четырёхугольник является вписанным, расстояние от центра описанной окружности до любой стороны равно половине длины противоположной стороны.
• Во вписанном ортодиагональном четырёхугольнике расстояние между серединами диагоналей равно расстоянию между центром описанной окружности и точкой пересечения диагоналей.
• Ортодиагональный четырёхугольник, являющийся также равнодиагональным, является среднеквадратным четырёхугольником, поскольку его параллелограмм Вариньона является квадратом. Его площадь может быть выражена чисто в терминах сторон.

Прямоугольники вписанные в ортодиагональный четырехугольник

В любой ортодиагональный четырехугольник можно вписать бесконечно много прямоугольников, относящихся к следующим двум множествам:

(i) прямоугольники, чьи стороны параллельны диагоналям ортодиагонального четырехугольника

(ii) прямоугольники, определяемые окружностями точек Паскаля.

$ABCD$ - ортодиагональный четырехугольник, $P_{1}X_{1}Z_{1}Y_{1}$ и $P_{2}X_{2}Z_{2}Y_{2}$ прямоугольники, вписанные в $ABCD$, и стороны которых параллельны диагоналям четырехугольник.

$ABCD$ - ортодиагональный четырехугольник. $P_{1}$ и $Q_{1}$ точки Паскаля, формируемые с помощью окружности $\omega _{1}$, $\sigma _{P_{1}Q_{1}}$ – окружность точек Паскаля, определяющая остальные вершины прямоугольника $P_{1}V_{1}Q_{1}W_{1}$ вписанного в $ABCD$. $P_{2}$ и $Q_{2}$ точки Паскаля, формируемые с помощью окружности $\omega _{2}$, $\sigma _{P_{2}Q_{2}}$ – окружность точек Паскаля, определяющая остальные вершины прямоугольника $P_{2}V_{2}Q_{2}W_{2}$ вписанного в $ABCD$.

Литература

• Martin Josefsson. Calculations concerning the tangent lengths and tangency chords of a tangential quadrilateral // Forum Geometricorum. — 2010. — Vol. 10. — P. 119–130.
• Martin Josefsson. Characterizations of Orthodiagonal Quadrilaterals // Forum Geometricorum. — 2012. — Vol. 12. — P. 13–25.
• Maria Flavia Mammana, Biagio Micale, Mario Pennisi. The Droz-Farny Circles of a Convex Quadrilateral // Forum Geometricorum. — 2011. — Vol. 11. — P. 109–119.
• N. Altshiller-Court. College Geometry. — Dover Publications, 2007. (Переиздание книги 1952 года, Barnes & Noble)

• Douglas W. Mitchell. The area of a quadrilateral // Mathematical Gazette. — 2009. — Vol. 93. — P. 306–309.
• Dan Ismailescu, Adam Vojdany. Class preserving dissections of convex quadrilaterals // Forum Geometricorum. — 2009. — Vol. 9. — P. 195–211.
• J. Harries. Area of a quadrilateral // Mathematical Gazette. — 2002. — No. 86.
• David Fraivert. Properties of a Pascal points circle in a quadrilateral with perpendicular diagonals // Forum Geometricorum. — 2017. — Vol. 17. — P. 509–526.
• Alfred S. Posamentier, Charles T. Salkind. Challenging Problems in Geometry. 2nd edition. — New York: Dover Publ., 1996. — ISBN 0-486-69154-3.