Четырёхугольник

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКИ
┌─────────────┼────────────┐
невыпуклый выпуклый самопересекающийся
Concave quadrilateral.png Convex quadrilateral.svg Cross-quadrilateral.png
┌─────────────┼─────────────┐
Cyclic quadrilateral.png Trapezium (geometry).svg Tangent quadrilateral.png
Вписанный трапеция описанный
| ┌───────────┤ |
Isoceles trapezium.png

равнобедренная трапеция
равнобокая

Parallelogram.png

параллелограмм
стороны параллельны

Kite.png

выпуклый ромбоид (дельтоид)
диагонали перпендикулярны

└─────┬─────┘ └─────┬─────┘
Rectangle (geometry).png

прямоугольник
прямые углы

Rhombus (geometry).png

Ромб
равнобедренный

└──────────┬─────────┘
Square (geometry).png

квадрат


Четырёхугольник — это многоугольник с четырьмя вершинами. Также четырёхугольником называют всякий предмет такой формы.


Четырёхугольник — как геометрическая фигура (многоугольник), состоит из четырёх точек (вершин), никакие три из которых не лежат на одной прямой, и четырёх отрезков (сторон), попарно соединяющих эти точки. Различают выпуклые и невыпуклые четырёхугольники (см. рис.).

Виды четырёхугольников[править | править вики-текст]

    • Параллелограмм — четырёхугольник, у которого все противоположные стороны равны и лежат на параллельных прямых;
    • Прямоугольник — четырёхугольник, у которого все углы прямые;
    • Ромб — четырёхугольник, у которого все стороны равны;
    • Квадрат — четырёхугольник, у которого все углы прямые и все стороны равны;
    • Трапеция — четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны;
    • Дельтоид — четырёхугольник, у которого две пары смежных сторон равны.

Четырёхсторонник[править | править вики-текст]

Хотя такое название может быть эквивалентно четырёхугольнику, в него часто вкладывают дополнительный смысл. Четвёрка прямых, никакие две из которых не параллельны и никакие три не проходят через одну точку, называется четырёхсторонником. Такая конфигурация встречается в некоторых утверждениях евклидовой геометрии (например, теорема Менелая, прямая Гаусса, прямая Обера и др.), в которых часто все прямые являются взаимозаменяемыми.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Сумма углов четырёхугольника равна 2 π = 360°.
  • Около четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна 180°

(~\angle A+\angle C = \angle B + \angle D = 180^\circ). См. также теорема Птолемея.

  • Выпуклый четырёхугольник является описанным около окружности тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон равны (~AB+CD=BC+AD)
  • Формула Эйлера: учетверённый квадрат расстояния между серединами диагоналей равен сумме квадратов сторон четырёхугольника минус сумма квадратов его диагоналей.
  • Средние линии четырёхугольника и отрезок, соединяющий середины его диагоналей, пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.
  • Четыре отрезка, каждый из которых соединяет вершину четырёхугольника с центром треугольника, образованного оставшимися тремя вершинами, пересекаются в центре четырёхугольника и делятся им в отношении 3:1, считая от вершин.
  • Две противоположные стороны четырёхугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма квадратов двух других противоположных сторон равна сумме квадратов диагоналей.
  • Диагонали четырёхугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда суммы квадратов противоположных сторон равны.
  • Средние линии четырёхугольника равны тогда и только тогда, когда равны суммы квадратов его противоположных сторон.
  • См. также свойства центроида четырёхугольника.
  • Шесть расстояний между четырьмя произвольными точками плоскости, взятыми попарно, связаны соотношением:
a^2c^2\left(b^2+d^2+e^2+f^2-a^2-c^2\right) + b^2d^2\left(a^2+c^2+e^2+f^2-b^2-d^2\right)+
 + e^2f^2\left(a^2+c^2+b^2+d^2-e^2-f^2\right) = (abe)^2 + (bcf)^2 + (cde)^2 + (daf)^2.

Это соотношение можно представить в виде определителя:


\left|
\begin{matrix} 
0&a^2&e^2&d^2&1 \\
a^2&0&b^2&f^2&1 \\
e^2&b^2&0&c^2&1 \\
d^2&f^2&c^2&0&1 \\
1&1&1&1&0
\end{matrix}
\right|=0


Площадь[править | править вики-текст]

Площадь выпуклого четырёхугольника с диагоналями d_1, d_2 и острым углом \alpha между ними (или их продолжениями), равна:

S=\frac{d_1d_2\sin\alpha}{2}

Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника равна:

  • 16S^2=4d_1^2d_2^2-\left(b^2+d^2-a^2-c^2\right)^2, где d_1, d_2 — длины диагоналей, a, b, c, d — длины сторон (значение площади, рассчитанной по формуле приблизительно).
Неточность расчётов по формуле демонстрируют следующие примеры:
Пример 1: Четырёхугольник имеет следующие значения сторон
a = 49.5, b = 30.1, c = 49.97, d = 30.1 и диагоналей d1 = 57.5, d2 = 59.
Значение площади по формуле S = 1504.29701612757.
Значение площади, рассчитанное как сумма площадей двух треугольников разделенных диагональю
(по формулы Герона):
S = 1496.52943198388 (с диагональю d1);
S = 1496.11772318766 (с диагональю d2). Значение площади по формуле древних (Египетской формуле) тоже дает достаточно близкое
значение S = 1497.0235. Пример 2: Четырёхугольник (дельтоид) имеет следующие значения сторон
a = 5.5, b = 7, c = 7, d = 5.5 и диагоналей d1 = 7.4, d2 = 10.
Значение площади по формуле S = 37.
Значение площади, рассчитанное как сумма площадей двух треугольников разделенных диагональю
(по формулы Герона):
S = 36.5008215660962 (с диагональю d1);
S = 35.9513366652214 (с диагональю d2.
Значение точности вычислений по формуле находится в прямой зависимости от точности измерения
длин диагоналей и ряда других факторов. Это обусловлено наличием в формуле избыточной информации,
требуемой для расчета (длина второй диагонали) и ряда корректирующих факторов, обусловленных
уменьшаемым.
Кстати хочется обратить внимание на неприятный момент.
При любых одинаковых значениях длин смежных сторон дельтоида результат вычисления всегда один
и тот же S = 37 (значения 5.5 можно заменить любыми значениями, например 47, 236, 555 и т.д.).
Это объяснимо для дельтоида, но некрасиво. (Авдеев И.Н. "Неточности в расчётах", журнал «Главный бухгалтер», Республика Беларусь,
№44 за ноябрь 2013).
  •  : S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cos^2\theta}, где p — полупериметр, а \theta есть полусумма противоположных углов четырёхугольника. (Какую именно пару противоположных углов взять роли не играет, так как если полусумма одной пары противоположных углов равна \theta, то полусумма двух других углов будет 180^\circ -\theta и \cos^2(180^\circ -\theta)=\cos^2\theta ). Из этой формулы для вписанных 4-угольников следует формула Брахмагупты.

Особые случаи[править | править вики-текст]

Если 4-угольник и вписан, и описан, то S=\sqrt{abcd}.Если он описан, то площадь равна половине его периметра умноженная на радиус вписанной окружности

История[править | править вики-текст]

В древности египтяне и некоторые другие народы использовали для определения площади четырёхугольника неверную формулу — произведение полусумм его противоположных сторон a, b, c, d[1]:

S=\frac{a+c}{2}\cdot\frac{b+d}{2}.

Для непрямоугольных четырехугольников эта формула даёт завышенное значение площади. Можно предположить, что она использовалась только для определения площади почти прямоугольных участков земли. При неточном измерении сторон прямоугольника эта формула позволяет повысить точность результата за счет усреднения исходных измерений.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Г. Г. Цейтен История математики в древности и в средние века, ГТТИ, М-Л, 1932.

Литература[править | править вики-текст]