Четырёхугольник

ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКИ
┌─────────────┼────────────┐
невыпуклый		выпуклый		самопересекающийся
┌─────────────┼─────────────┐
Вписанный		трапеция		описанный
| ┌───────────┤				|
равнобедренная трапеция равнобокая		параллелограмм стороны параллельны		выпуклый ромбоид (дельтоид) диагонали перпендикулярны
└─────┬─────┘			└─────┬─────┘
прямоугольник прямые углы			Ромб равнобедренный
└──────────┬─────────┘
квадрат

Четырёхугольник — это геометрическая фигура (многоугольник), состоящая из четырёх точек (вершин), не лежащих на одной прямой, и четырёх отрезков (сторон), попарно соединяющих эти точки. Различают выпуклые и невыпуклые четырёхугольники (см. рис.).

Виды четырёхугольников

1. Параллелограмм — четырёхугольник, у которого все противоположные стороны попарно параллельны;
   • Прямоугольник — четырёхугольник, у которого все углы прямые;
   • Ромб — четырёхугольник, у которого все стороны равны;
   • Квадрат — четырёхугольник, у которого все углы прямые и все стороны равны;
2. Трапеция — четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны;
3. Дельтоид — четырёхугольник, у которого две пары смежных сторон равны.

Четырёхсторонник

Хотя такое название может быть эквивалентно четырёхугольнику, в него часто вкладывают дополнительный смысл. Четвёрка прямых, никакие две из которых не параллельны и никакие три не проходят через одну точку, называется четырёхсторонником. Такая конфигурация встречается в некоторых утверждениях евклидовой геометрии (например, теорема Менелая, прямая Гаусса, прямая Обера и др.), в которых часто все прямые являются взаимозаменяемыми.

Свойства

• Сумма углов четырёхугольника равна 2 π = 360°.
• Четырёхугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна 180° ($~\angle A+\angle C = \angle B + \angle D = 180^\circ$). См. также теорема Птолемея.
• Четырёхугольник является описанным около окружности тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон равны ($~AB+CD=BC+AD$)
• Формула Эйлера: учетверённый квадрат расстояния между серединами диагоналей равен сумме квадратов сторон четырёхугольника минус сумму квадратов его диагоналей.
• Средние линии четырёхугольника и отрезок, соединяющий середины его диагоналей, пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.
• Четыре отрезка, каждый из которых соединяет вершину четырёхугольника с центроидом треугольника, образованного оставшимися тремя вершинами, пересекаются в центроиде четырёхугольника и делятся им в отношении 3:1, считая от вершин.
• Две противоположные стороны четырёхугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма квадратов двух других противоположных сторон равна сумме квадратов диагоналей.
• Диагонали четырёхугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда суммы квадратов противоположных сторон равны.
• Средние линии четырёхугольника равны тогда и только тогда, когда равны суммы квадратов его противоположных сторон.
• См. также свойства центроида четырёхугольника.
• Шесть расстояний между четырьмя произвольными точками плоскости, взятыми попарно, связаны соотношением:

$a^2c^2\left(b^2+d^2+e^2+f^2-a^2-c^2\right) + b^2d^2\left(a^2+c^2+e^2+f^2-b^2-d^2\right)+$

$+ e^2f^2\left(a^2+c^2+b^2+d^2-e^2-f^2\right) = (abe)^2 + (bcf)^2 + (cde)^2 + (daf)^2$.

Его можно представить ещё в виде:

$\left| \begin{matrix} 0&a^2&e^2&d^2&1 \\ a^2&0&b^2&f^2&1 \\ e^2&b^2&0&c^2&1 \\ d^2&f^2&c^2&0&1 \\ 1&1&1&1&0 \end{matrix} \right|$

Площадь

Площадь произвольного четырёхугольника с диагоналями d₁, d₂ и углом α между ними (или их продолжениями), равна:

$S=\frac{d_1d_2\sin\alpha}{2}$

Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника равна:

• $16S^2=4e^2f^2-\left(b^2+d^2-a^2-c^2\right)^2$, где e, f — длины диагоналей, a, b, c, d — длины сторон.
• $S^2=(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cos^2\frac{\angle A+\angle C}{2}$, где p — полупериметр. Из этой формулы для вписанных 4-угольников следует формула Брахмагупты.

Особые случаи

Если 4-угольник и вписан, и описан, то $S=\sqrt{abcd}$.

История

В древности египтяне и некоторые другие народы использовали в качестве площади четырёхугольника неверную формулу — произведение полусумм его противоположных сторон a, b, c, d: $\frac{a+c}{2}\cdot\frac{b+d}{2}$.

См. также

• Теорема косинусов для четырёхугольника
• Прямая Обера
• Соотношение Бретшнайдера

Литература

• Болтянский В., Четырехугольники. Квант, № 9,1974.
• Понарин Я.П. Элементарная геометрия. В 2 тт. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 74. — ISBN 5-94057-170-0.