Двойственность Пуанкаре

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математике, теорема двойственности Пуанкаре, названная в честь французского математика Анри Пуанкаре, является основным результатом о структуре групп гомологий и когомологий многообразия. Она утверждает, что все k-е группы когомологий n-мерного ориентируемого замкнутого многообразия M изоморфны (n − k)-м группам гомологий M :

H^k(M) \cong H_{n-k}(M).

История[править | править исходный текст]

Первоначальный вариант теоремы двойственности был сформулирован Пуанкаре без доказательства в 1893 году. Когомологии были изобретены лишь спустя два десятилетия после его смерти, поэтому идею двойственности он сформулировал в терминах чисел Бетти: k-е и (nk)-е числа Бетти замкнутого (компактного без границы) ориентируемого n-мерного многообразия равны:

b_k(M)=b_{n-k}(M).

Позже Пуанкаре дал доказательство этой теоремы в терминах двойственных триангуляций[1][2].

Современная формулировка[править | править исходный текст]

Современная формулировка двойственности Пуанкаре включает понятия гомологий и когомологий: если M — замкнутое ориентируемое n-мерное многообразие, k — целое число, то существует канонический изоморфизм k-й группы когомологий Hk(M) в (n − k)-ю группу гомологий Hn − k(M):

D:H^k(M)\to H_{n-k}(M).

Этот изоморфизм определяется фундаментальным классом многообразия [M]:

D(\alpha)=[M]\frown\alpha,

где \alpha\in H^k(M)коцикл, \frown обозначает \frown-умножение гомологических и когомологических классов. Здесь приведены гомологии и когомологии с коэффициентами в кольце целых чисел, но изоморфизм имеет место и для произвольного кольца коэффициентов.

Для некомпактных ориентируемых многообразий когомологии в этой формуле необходимо заменить на когомологии с компактным носителем.

Для k<0 группы гомологий и когомологий, по определению нулевые, соответственно, согласно двойственности Пуанкаре, группы гомологий и когомологий при k>n на n-мерном многообразии являются нулевыми.

Билинейное спаривание[править | править исходный текст]

Пусть M замкнутое ориентируемое многообразие, обозначим через \tau H_k (M) кручение группы H_k (M), и fH_k (M) = H_k (M) / \tau H_k (M) ее свободную часть; все группы гомологий берутся с целыми коэффициентами. Существуют билинейные отображения:

fH_k (M) \otimes fH_{n-k} (M) \to \Bbb Z

и

\tau H_k (M) \otimes \tau H_{n-k-1} (M) \to \Bbb Q / \Bbb Z.
(Здесь \Bbb Q / \Bbb Z — аддитивная факторгруппа группы рациональных чисел по целым.)

Первая форма называется индексом пересечения, вторая — коэффициентом зацепления. Индекс пересечения определяет невырожденную двойственность между свободными частями групп H_k(M) и H_{n-k}(M), коэффициент зацепления — между кручениями групп H_k (M) и H_{n-k-1} (M).


Утверждение о том, что эти билинейные спаривания определяют двойственность, означает, что отображения

fH_k (M) \to \mathrm{Hom}_{\Bbb Z}(fH_{n-k} (M),\Bbb Z)

и

\tau H_k (M) \to \mathrm{Hom}_{\Bbb Z}(\tau H_{n-k-1} (M), \Bbb Q/\Bbb Z)

являются изоморфизмами групп.

Этот результат является следствием двойственности Пуанкаре H_k (M) \simeq H^{n-k} (M) и теоремы об универсальных коэффициентах, которые дают равенства fH^{n-k} (M) \equiv \mathrm{Hom}(H_{n-k} (M); \mathbb Z) и \tau H^{n-k} (M) \equiv \mathrm{Ext}(H_{n-k-1} (M); \mathbb Z) \equiv \mathrm{Hom}(\tau H_{n-k-1} (M); \mathbb Q/\mathbb Z). Таким образом, группы fH_k (M)\simeq fH_{n-k} (M) являются изоморфными, хотя и не существует естественного изоморфизма, и, аналогично, \tau H_k (M)\simeq \tau H_{n-k-1} (M).

Ссылки[править | править исходный текст]

  1. Henri Poincaré, Complément à l'Analysis Situs, Rendiconti del Circolo matematico di Palermo, 13 (1899) pages 285-343
  2. Henri Poincaré, Second complément à l'Analysis Situs, Proceedings of the London Mathematical Society, 32 (1900), pages 277-308

Литература[править | править исходный текст]

  • Дольд А. Лекции по алгебраической топологии. — М.: Мир, 1976
  • Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии. — М.: Наука, 1989