Ориентация

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Ориентация, в классическом случае — выбор одного класса систем координат, связанных между собой «положительно» в некотором определённом смысле. Каждая система задает ориентацию, определяя класс, к которому она принадлежит.

В элементарной математике ориентация часто описывается через понятие «направления по и против часовой стрелки».

Ориентация определяется только для некоторых специальных классов пространств (многообразий, векторных расслоений, комплексов Пуанкаре[en] и т. д.). Современный взгляд на ориентацию даётся в рамках обобщённых теорий когомологий.

Конечномерное векторное пространство[править | править исходный текст]

В случае векторного пространства конечной размерности над полем вещественных чисел две системы координат считаются связанными положительно, если положителен определитель матрицы перехода от одной из них к другой.

Замечания[править | править исходный текст]

Для общего поля определение ориентации представляет трудности. Например, в комплексном пространстве \mathbb C^n комплексный репер e_1,e_2,...,e_n определяет вещественный репер e_1,e_2,...,e_n, ie_1,ie_2,...,ie_n в том же пространстве, рассматриваемом как \R^{2n}, и все такие реперы связаны попарно положительными переходами (иначе говоря, комплексная структура задаёт ориентацию в \R^{2n}).

Вариации и обобщения[править | править исходный текст]

Аффинное пространство[править | править исходный текст]

На прямой, плоскости и вообще в вещественном аффинном пространстве A системы координат состоят из точки (начала O) и репера \{e_i\}, переход определяется вектором переноса начала и заменой репера. Этот переход положителен, если положителен определитель матрицы замены (например, при чётной перестановке векторов репера).

Две системы координат определяют одну и ту же ориентацию, если одну из них можно перевести в другую непрерывно, то есть существует непрерывно зависящее от параметра t\in[0, 1] семейство координатных систем O(t), \{e_i(t)\}, связывающее данные системы O, \{e_i\} и O', \{e'_i\}.

При отражении в гиперплоскости системы двух классов переходят друг в друга.

Ориентация может быть задана порядком вершин n-мерного симплекса (треугольника в двумерном случае, тетраэдра в трёхмерном), Репер определяется условием: в первую вершину помещается начало, в остальные из первой направляются векторы репера. Два порядка задают одну ориентацию, если и только если они отличаются на чётную перестановку. Симплекс с фиксированным с точностью до чётной перестановки порядком вершин называется ориентированным. Каждая (n-1)-грань ориентированного симплекса получает индуцированную ориентацию: если первая вершина не принадлежит грани, то порядок остальных принимается для неё за положительный.

Многообразия[править | править исходный текст]

В связном многообразии M системой координат служит атлас — набор карт, покрывающих M. Атлас называется ориентирующим, если координатные преобразования все положительны. Это означает, что их степени равны +1, а в случае дифференцируемого многообразия положительны якобианы преобразования во всех точках. Если ориентирующий атлас существует, то многообразие M называется ориентируемым. В этом случае все ориентирующие атласы распадаются на два класса, так что переход от карт одного атласа к картам другого положителен, если и только если атласы принадлежат одному классу. Выбор такого класса называется ориентацией многообразия. Этот выбор может быть сделан указанием одной карты или локальной ориентации в точке. В случае дифференцируемого многообразия локальную ориентацию можно задать указанием репера в касательной плоскости в точке. Если M имеет край и ориентировано, то край также ориентируем, например по правилу: в точке края берётся репер, ориентирующий M, первый вектор которого направлен из M, а остальные векторы лежат в касательной плоскости края, эти последние и принимаются за ориентирующий репер края.

Дезориентирующий контур[править | править исходный текст]

Дезориентирующий контур — замкнутая кривая в многообразии, обладающая тем свойством, что при её обходе локальная ориентация меняет знак.

Дезориентирующий контур имеется только в неориентируемом многообразии M, причём однозначно определён гомоморфизм фундаментальной группы \pi_1(M) на \mathbb Z_2 с ядром, состоящим из классов петель, не являющихся дезориентирующими.

Вдоль любого пути q: [0, 1]\to M можно выбрать цепочку карт так, что две соседние карты связаны положительно. Тем самым ориентация в точке q(0) определяет ориентацию в точке q(1), и эта связь зависит от пути q лишь с точностью до его непрерывной деформации при фиксированных концах. Если q — петля, то есть q(0) = q(1)=x_0, то q называется дезориентирующим контуром, если эти ориентации противоположны. Возникает гомоморфизм фундаментальной группы \pi_1(M,x_0) в группу порядка 2: дезориентирующие петли переходят в -1, а остальные в +1. По этому гомоморфизму строится накрытие, являющееся двулистным в случае неориентируемого многообразия. Оно называется ориентирующим (так как накрывающее пространство будет ориентируемым). Этот же гомоморфизм определяет над M одномерное расслоение, тривиальное, если и только если M ориентируемо. Для дифференцируемого M оно может быть определено как расслоение \Omega^n(M) дифференциальных форм порядка n=\operatorname{dim} M. Ненулевое сечение в нём существует лишь в ориентируемом случае и задаёт форму объёма на M и одновременно ориентацию.

На языке гомологий[править | править исходный текст]

Ориентация может быть определена на гомологическом языке: для связного ориентируемого многообразия без края группа гомологий H^n(M,\Z) (с замкнутыми носителями) изоморфна \Z, и выбор одной из двух образующих задаёт ориентацию — отбираются карты с положительными степенями отображений. Для связного многообразия с краем то же верно и для H^n(M,\partial M,\Z). В первом случае ориентируемость есть гомотопический инвариант M, а во втором — пары (M,\partial M). Так, лист Мёбиуса и кольцо имеют один и тот же абсолютный гомотопический тип, но разный — относительно края.

Локальная ориентация многообразия может быть также задана выбором образующей в группе H^n(M,M\backslash x_0,\Z), изоморфной \Z Гомологическая интерпретация ориентации позволяет перенести это понятие на обобщённые гомологические многообразия.

Псевдомногообразия[править | править исходный текст]

Триангулированное многообразие M (или псевдомногообразие) ориентируемо, если можно ориентировать все n-мерные симплексы так, что два симплекса с общей (n-1)-мерной гранью индуцируют на ней противоположные ориентации. Замкнутая цепочка n-мерных симплексов, каждые два соседа в которой имеют общую (n-1)-грань, называется дезориентирующей, если эти симплексы могут быть ориентированы так, что первый и последний симплексы индуцируют на общей грани совпадающие ориентации, а остальные соседи — противоположные.

Расслоения[править | править исходный текст]

Пусть над пространством B задано расслоение p:E\to B со стандартным слоем F. Если ориентацию всех слоев можно выбрать так, что любое (собственное) отображение, определённое путем в B однозначно с точностью до собственной гомотопии, сохраняет ориентацию, то расслоение называется ориентированным, а указанный выбор ориентации слоёв — ориентацией расслоения. Например, лист Мёбиуса, рассматриваемый как векторное расслоение над окружностью, не обладает ориентацией, в то время как боковая поверхность цилиндра — обладает.

Бесконечномерные пространства[править | править исходный текст]

Понятие ориентации допускает естественное обобщение и для случая бесконечномерного многообразия, моделированного при помощи бесконечномерного банахова или топологического векторного пространства. При этом необходимы ограничения на линейные операторы, являющиеся дифференциалами функций перехода от карты к карте: они должны не просто принадлежать общей линейной группе всех изоморфизмов моделирующего пространства, которая гомотопически тривиальна (в равномерной топологии) для большинства классических векторных пространств, а содержаться в некоторой линейно несвязной подгруппе общей линейной группы. Тогда компонента связности данной подгруппы и будет задавать «знак» ориентации. В качестве такой подгруппы обычно выбирается фредгольмова группа, состоящая из тех изоморфизмов моделирующего пространства, для которых разность с тождественным изоморфизмом есть вполне непрерывный оператор.

См. также[править | править исходный текст]

Логотип Викисловаря
В Викисловаре есть статья «ориентация»