ККС и КАС алгебры

ККС-алгебры (основанные на канонических коммутационных соотношениях) и КАС-алгебры (основанные на канонических антикоммутационных соотношениях) используются в математическом аппарате квантовой механики, квантовой статистической механики и квантовой теории поля при описании статистики и наблюдаемых свойств всех элементарных частиц: бозонов и фермионов, соответственно..

ККС-алгебры и КАС-алгебры как *-алгебры

Пусть $V$ - вещественное векторное пространство, снабженное невырожденной вещественной антисимметричной билинейной формой $(\cdot ,\cdot )$ (т.е. симплектическое векторное пространство). унитальная *-алгебра, порожденная элементами $V$, в которой выполняются соотношения

$fg-gf=i(f,g)$

$f^{*}=f$

для любых $f,g$ в $V$ называется алгеброй канонических коммутационных соотношений (ККС-алгеброй).

Если, наоборот, $V$ снабжено невырожденной вещественной симметричной билинейной формой $(\cdot ,\cdot )$ унитальная *-алгебра, порожденная элементами $V$, в которой выполняются соотношения

$fg+gf=(f,g)$

$f^{*}=f$

для всех $f,g$ в $V$ называется алгеброй канонических антикоммутационных соотношений (КАС-алгеброй).

ККС C*-алгебра

Существует отдельное, но тесно связанная с основной разновидность ККС-алгебры, называемая ККС C*-алгеброй. Пусть $H$ - вещественное симплектическое векторное пространство с неособой симплектической формой $(\cdot ,\cdot )$. В теории операторных алгебр алгебра ККС над $H$ является унитальной C*-алгеброй, порожденной элементами $\{W(f):f\in H\}$ обладающими свойствами

$W(f)W(g)=e^{-i(f,g)}W(f+g)$

$W(f)^{*}=W(-f)$

Они называются формой Вейля канонических коммутационных соотношений и, в частности, подразумевают, что каждый элемент $W(f)$ является унитарным и $W(0)=1$. Хорошо известно, что ККС-алгебра является простой несепарабельной алгеброй и уникальна с точностью до изоморфизма.

Когда $H$ является гильбертовым пространством, а $(\cdot ,\cdot )$ задается мнимой частью внутреннего произведения, ККС-алгебра достоверно представляется на симметричном пространстве Фока поверх $H$, при помощи соотношения:

$W(f)\left(1,g,{\frac {g^{\otimes 2}}{2!}},{\frac {g^{\otimes 3}}{3!}},\ldots \right)=e^{-{\frac {1}{2}}||f||^{2}-\langle f,g\rangle }\left(1,f+g,{\frac {(f+g)^{\otimes 2}}{2!}},{\frac {(f+g)^{\otimes 3}}{3!}},\ldots \right)$

для любых $f,g\in H$. Операторы поля $B(f)$ определяются для каждого $f\in H$ как генераторы однопараметрической унитарной группы $(W(tf))_{t\in \mathbb {R} }$ на симметричном пространстве Фока. Они являются самосопряженными неограниченными операторами, однако они формально удовлетворяют соотношению

$B(f)B(g)-B(g)B(f)=2i\mathrm {Im} \langle f,g\rangle$

Поскольку отношение $f\mapsto B(f)$ является вещественнолинейным, поэтому операторы $B(f)$ определяют ККС-алгебру над $(H,2\mathrm {Im} \langle \cdot ,\cdot \rangle )$ в смысле раздел 1.

КАС C*-алгебра

Пусть $H$ - гильбертово пространство. В теории операторных алгебр КАС-алгебра - это уникальное C*-пополнение комплексной унитальной *-алгебры, порожденной элементами $\{b(f),b^{*}(f):f\in H\}$ с учетом отношений

$b(f)b^{*}(g)+b^{*}(g)b(f)=\langle f,g\rangle ,\,$

$b(f)b(g)+b(g)b(f)=0,\,$

$\lambda b^{*}(f)=b^{*}(\lambda f),\,$

$b(f)^{*}=b^{*}(f),\,$

для всех $f,g\in H$, $\lambda \in \mathbb {C}$. Когда $H$ отделима, КАС-алгебра представляет собой приближенно конечномерную C*-алгебру и, в частном случае бесконечномерного $H$, ее часто записывают как ${M_{2^{\infty }}(\mathbb {C} )}$.

Пусть $F_{a}(H)$ будет антисимметричным пространством Фока над $H$ и пусть $P_{a}$ будет ортогональной проекцией на антисимметричные векторы:

$P_{a}:\bigoplus _{n=0}^{\infty }H^{\otimes n}\to F_{a}(H).\,$

КАС-алгебра точно представляется в $F_{a}(H)$, при помощи соотношения

$b^{*}(f)P_{a}(g_{1}\otimes g_{2}\otimes \cdots \otimes g_{n})=P_{a}(f\otimes g_{1}\otimes g_{2}\otimes \cdots \otimes g_{n})\,$

для всех $f,g_{1},\ldots ,g_{n}\in H$ и $n\in \mathbb {N}$. Тот факт, что они образуют C *-алгебру, объясняется тем фактом, что операторы рождения и уничтожения в антисимметричном пространстве Фока являются ограниченным операторами. Более того, операторы поля $B(f):=b^{*}(f)+b(f)$ удовлетворяют соотношению

$B(f)B(g)+B(g)B(f)=2\mathrm {Re} \langle f,g\rangle ,\,$

дающему связь с глава 1.

См. также

• Статистика Бозе — Эйнштейна
• Статистика Ферми — Дирака
• Глоссарий теории струн
• Группа Гейзенберга
• Преобразование Боголюбова
• (−1)^F