Симметрическая разность

Не следует путать с Разность множеств.

Диаграмма Эйлера — Венна для симметрической разности

Симметрическая разность двух множеств — это теоретико-множественная операция, результатом которой является новое множество включающее все элементы исходных множеств которые не принадлежат одновременное обоим исходным множествам. Другими словами, если есть два множества $A$ и $B$, их симметрическая разность есть объединение элементов $A$ не входящих в $B$, с элементами $B$ не входящими в $A$. На письме для обозначения симметрической разности множеств $A$ и $B$ используется обозначение: $A \bigtriangleup B.$ так же, реже используется обозначение: $A\,\dot{-}\,B.$

Определение

Симметрическую разность можно ввести двумя способами:

• симметрическая разность двух заданных множеств $A$ и $B$ — это такое множество $A \bigtriangleup B$, куда входят все те элементы первого множества, которые не входят во второе множество, а, также те элементы второго множества, которые не входят в первое множество:

$A \bigtriangleup B = \left( A \setminus B \right) \cup \left ( B \setminus A \right).$

• симметрическая разность двух заданных множеств $A$ и $B$ — это такое множество $A \bigtriangleup B$, куда входят все те элементы обоих множеств, которые не являются общими для двух заданных множеств.

$A \bigtriangleup B = \left(A \cup B\right) \setminus \left(A \cap B\right).$

Понятие симметрической разности можно обобщить на число множеств, большее двух.

Свойства

• Симметрическая разница является бинарной операцией на любом булеане;
• Симметрическая разность коммутативна:

$A \bigtriangleup B = B\,\triangle\,A;$

• Симметрическая разность ассоциативна:

$\left(A \bigtriangleup B \right)\,\triangle\,C = A \bigtriangleup \left(B\,\triangle\,C\right);$

• Пересечение множеств дистрибутивно относительно симметрической разности:

$A \cap \left(B \bigtriangleup C\right) = \left(A \cap B\right) \bigtriangleup \left(A \cap C\right);$

• Пустое множество является нейтральным элементом симметрической разности:

$A \bigtriangleup \varnothing = A;$

• Любое множество обратно само себе относительно операции симметрической разности:

$A \bigtriangleup A = \varnothing;$

• В частности, булеан с операцией симметрической разности является абелевой группой;
• Булеан с операцией симметрической разности также является векторным пространством над полем $\mathbb{Z}_2.$
• В частности, булеан с операциями пересечения множеств и симметрической разности является алгеброй с единицей.
• $\left(A_1 \cap A_2\right) \bigtriangleup \left(B_1 \cap B_2\right) \subset \left(A_1 \bigtriangleup B_1\right) \cup \left(A_2 \bigtriangleup B_2\right);$
• $\left(A_1 \cup A_2\right) \bigtriangleup \left(B_1\cup B_2\right) \subset \left(A_1 \bigtriangleup B_1\right) \cup \left(A_2 \bigtriangleup B_2\right);$
• $\left(A_1 \setminus A_2\right) \bigtriangleup \left(B_1 \setminus B_2\right) \subset \left(A_1 \bigtriangleup B_1\right) \cup \left(A_2 \bigtriangleup B_2\right);$

• Если роль «суммы» играет операция симметрической разности, а роль «произведения» — пересечение множеств, то множества образуют кольцо без единицы. Причём другие основные операции теории множеств, разность и объединение, можно выразить через них:

$A \cup B = A \bigtriangleup B \bigtriangleup \left(A \cap B \right),$

$A \setminus B = A \bigtriangleup \left(A \cap B \right).$

Пример

Пусть

$A = \{1,2,3,4,5\},\quad B = \{3,4,5,6,7\}.$

Тогда

$A\,\triangle\,B = \{1,2,6,7\}.$

См. также

• Операции над множествами

Литература

• К. Куратовский, А. Мостовский Теория множеств / Перевод с английского М. И. Кратко под редакцией А. Д. Тайманова. — М.: Мир, 1970. — С. 23—26.