Спинор

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Спино́р (англ. spin — вращаться) — специальное обобщение понятия вектора, применяемое для лучшего описания группы вращений евклидова или псевдоевклидова пространства.

Смысл спинорного описания пространства V — построение вспомогательного комплексного линейного пространства S, так чтобы V вкладывалось в S \otimes S^*тензорное произведение пространства S на комплексно-сопряжённое к себе). Элементы пространства S и называются «спинорами»; зачастую (хотя и не обязательно) у них отсутствует какой-либо прямой геометрический смысл. Однако, на спинорах можно «почти» определить действие группы вращений, а именно вращение действует на спинор с точностью до неопределённого комплексного множителя, равного по модулю 1 (в простых случаях, с точностью до ±1).Спиноры можно представить в виде обыкновенных комплексных векторов, но в пространстве с антисимметричной метрикой, например

      g_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}

Индексы спиноров бывают пунктирные и непунктирные, т.к. по некоторым индексам спинор преобразуется как комплексно- сопряжённый.

Если исходное пространство V рассматривалось над полем вещественных чисел \mathbb R, то вектора из V будут описаны в S эрмитовыми матрицами.

Математически строгое обоснование такого построения делается с помощью алгебры Клиффорда, построенной по изучаемому пространству V.

Спиноры впервые были рассмотрены в математике Э. Картаном в 1913 году. Они были вновь открыты в 1929 году Б. ван дер Варденом в связи с исследованиями по квантовой механике.

Определение[править | править вики-текст]

Спинором первого ранга называется вектор a=(a_{1}, a_{2}) в двумерном комплексном пространстве, преобразующийся по формулам:

a_{1}^{'}=\alpha_{11}a_{1}+\alpha_{12}a_{2},

a_{2}^{'}=\alpha_{21}a_{1}+\alpha_{22}a_{2},

с детерминантом преобразования, равным единице:

\begin{vmatrix} \alpha_{11} & \alpha_{12} \\ \alpha_{21} & \alpha_{22} \end{vmatrix} = 1.

Спинор a также обозначается как a_{k}, (k=1, 2).

Коэффициенты \alpha_{rs}, (r=1,2; s=1,2) являются комплексными числами.

Для каждого спинора существует коспинор b=(b_{\dot 1}, b_{\dot 2}) в двумерном комплексном пространстве, преобразующийся по формулам:

b_{\dot 1}^{'}=\bar{\alpha_{11}}b_{\dot 1}+\bar{\alpha_{12}}b_{\dot 2},

b_{\dot 2}^{'}=\bar{\alpha_{21}}b_{\dot 1}+\bar{\alpha_{22}}b_{\dot 2},

где чёрточками отмечены комплексно-сопряжённые величины. Индексы у коспиноров помечаются точками.[1]

Спинорами высших рангов называются величины, которые преобразуются как произведения спиноров первого ранга. Например, спинор второго ранга a_{kl} (k, l = 1, 2) преобразуется как произведение спиноров первого ранга a_{k}b_{l}. Смешанный спинор спинор второго ранга a_{\dot kl} (\dot k, l = 1, 2) преобразуется как произведение спиноров первого ранга a_{\dot k}b_{l}.

В спинорной алгебре, как и в тензорной алгебре, справедливо правило суммирования по повторяющимся вверху и внизу индексам и существует метрический спинор второго ранга e^{kl} и определяемый следующим образом:

a^{k}=e^{kl}a_{l},

a_{k}=e_{kl}a^{l},

e_{kl}=e_{lk}=e_{\dot k \dot l}=e_{\dot l \dot k}=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix},

e^{kl}=e^{lk}=e^{\dot k \dot l}=e^{\dot l \dot k}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}.

Свойства[править | править вики-текст]

Координаты спиноров и коспиноров связаны следующими соотношениями:

a^1=a_2, b^{\dot 1}=b_{\dot 2},

a^2=-a_1, b^{\dot 2}=-b_{\dot 1},

Абсолютная величина любого спинора нечётного ранга равна нулю:

a_{l}a^{l}=0,

a_{lmn}a^{lmn}=0,

a^{l}b_{l}c_{m}+a_{l}b_{m}c^{l}+a_{m}b^{l}c_{l}=0.[2]

С помощью спиноров вводятся дифференциальные операторы, инвариантные при бинарных преобразованиях.

Компонентам четырёхмерного градиента соответствуют операторы:

\partial_{1}^{1} = \partial_{\dot 2 1} = \frac{\partial}{\partial x^{1}} + i \frac{\partial}{\partial x^{2}},

-\partial_{2}^{\dot 2} = \partial_{\dot 1 2} = \frac{\partial}{\partial x^{1}} - i \frac{\partial}{\partial x^{2}},

-\partial_{1}^{\dot 2} = \partial_{\dot 1 \dot 1} = \frac{\partial}{\partial x^{3}} - \frac{\partial}{\partial x^{4}},

-\partial_{2}^{\dot 1} = \partial_{\dot 2 2} = \frac{\partial}{\partial x^{3}} + \frac{\partial}{\partial x^{4}}[1].

Трёхмерное пространство[править | править вики-текст]

Для представления 3-мерного пространства в качестве S необходимо взять 2-мерное комплексное пространство S = {\mathbb C}^2. Вектора трёхмерного пространства будут соответствовать матрицам с нулевым следом.

Спиноры 3-мерного евклидова пространства обладают алгеброй, близкой к алгебрам скалярного и векторного произведений. Эта алгебра допускает удобное описание в терминах кватернионов Гамильтона. Именно, с каждым вектором x = (x1, x2, x3) из вещественных (или комплексных) чисел можно ассоциировать комплексную матрицу

{\bold x}\rightarrow X= \left(\begin{matrix}x_3&x_1-ix_2\\x_1+ix_2&-x_3\end{matrix}\right).

Матрицы такой формы обладают следующими свойствами, внутренне связывающими их с геометрией 3-мерного пространства:

  • det X = — (длина x)2.
  • X2 = (длина x)2I, где I — единичная матрица.
  • \frac{1}{2}(XY+YX)=({\bold x}\cdot{\bold y})I
  • \frac{1}{2}(XY-YX)=iZ, где Z — матрица, ассоциированная с векторным произведением z = x × y.
  • Если u — единичный вектор, то UXU — матрица, ассоциированная с вектором, получаемым из x отражением в плоскости, ортогональной u.
  • Согласно линейной алгебре любое вращение в 3-мерном пространстве представимо в виде двух отражений. (Сходно, любое меняющее направление ортогональное преобразование есть либо отражение, либо произведение трёх (вообще, нечетного числа) отражений.) Таким образом, если R — вращение, представимое в виде двух последовательных отражений в плоскостях, перпендикулярных единичным векторам u1 и u2, то матрица U2U1XU1U2 представляет вращение R вектора x.

Имея эффективный способ представления всей геометрии вращений 3-мерного пространства набором комплексных 2×2-матриц, естественно задаться вопросом, какую роль играют 2×1-матрицы, если вообще они играют какую-то роль. Временно назовём спинором вектор-столбец

\xi=\left[\begin{matrix}\xi_1\\\xi_2\end{matrix}\right]

с комплексными компонентами ξ1 и ξ2. Очевидно, в пространстве спиноров действуют комплексные 2×2-матрицы. Более того, произведение двух отражений (для данной пары единичных векторов) определяет 2×2-матрицу, действие которой на эвклидовы векторы есть вращение, так что она вращает спиноры. Но здесь есть важное свойство — факторизация вращения не единственна. Ясно, что если XRXR−1 есть представление вращения, то замена R на -R даст то же самое вращение. На самом деле, можно легко показать, что это единственная возникающая неопределенность. Действие операции вращения на спинор всегда двузначно.

Пространство Минковского[править | править вики-текст]

Если к трём матрицам Паули добавить ещё и единичную матрицу (за номером 0), то мы получим спинорное представление пространства Минковского M:

X = \sigma_\mu x^\mu,\ \mu=0,1,2,3

При этом светоподобные вектора (нулевой длины) будут отвечать вырожденным матрицам вида \pm\bar\psi\otimes\psi, где \psi\in S. Соответствие между пространством Минковского и эрмитовыми матрицами 2×2: M≈Herm(2) будет взаимно-однозначным.

Спиноры в физике[править | править вики-текст]

Спиноры отнюдь не являются чисто абстрактным построением, никак не проявляющим себя по отношению к геометрии реальности. Многие встречающиеся в квантовой механике величины являются спинорами (см. спин, уравнение Дирака). При релятивистском рассмотрении используется изложенное выше спинорное представление пространства Минковского; например, существует довольно простое спинорное представление уравнений Максвелла.

При малых скоростях используются 3-мерные спиноры.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. 1 2 Ван дер Верден Б.Л. Метод теории групп в квантовой механике, М., Едиториал УРСС, 2004, ISBN 5-354-00700-3
  2. Основные формулы физики, под ред. Д. Мензела, М., ИЛ, 1957

Литература[править | править вики-текст]

  • Дирак П. Спиноры в гильбертовом пространстве. Пер. с англ. М.: Мир, 1978. 126 с.
  • Желнорович В. А. Теория спиноров и ее применение в физике и механике М.: Наука, 1982. 272 с.
  • Желнорович В. А. Теория спиноров и её применения. М.: Август-Принт, 2001. 400с. ISBN 5-94681-001-4
  • Картан Э. Теория спиноров. Пер. с франц. М.: ГИИЛ, 1947.
  • Пенроуз Р., Риндлер В. Спиноры и пространство-время. Том 2. Пер с англ. М.: Мир, 1988. 584 с.
  • Рашевский П. К. Теория спиноров. Изд. 2-ое. М.: КомКнига, 2006. 112с. ISBN 5-484-00348-2
  • Румер Ю. Б. Спинорный анализ. М.-Л.: ОНТИ, 1936. 104с.
  • Яппа Ю. А. Введение в теорию спиноров и её приложения в физике: Учебное пособие / Под ред. В. А. Франке. — СПб.: Изд-во СПбГУ, 2004. — 256 с. — ISBN 978-5-288-01951-7.

Ссылки[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]